EXAMEN PROBABILIDAD CASAR 2014 3P

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
EXAMEN: TERCER EXAMEN PARCIAL (2014-2).
PROFESOR: ING. GUILLERMO CASAR MARCOS.
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (GRUPO 31).
NOMBRE DEL ALUMNO: _______________________________________________
1.

Se tiran un par de dados no cargados: uno rojo y otro azul. La variable “x” representa el número del dado rojo y “y” el
número del dadoazul. Determinar el valor esperado del producto de los números pares. Utilizar la variable conjunta (x
,y).

H ( x , y ) = xy
H(2,2)=4
H(2,4)=8
H ( 2 , 6 ) = 12

H(4,2)=8
H ( 4 , 4 ) = 16
H ( 4 , 6 ) = 24

P ( xy) = 1/9

;

E H ( x, y) =

H ( 6 , 2 ) = 12
H ( 6 , 4 ) = 24
H ( 6 , 6 ) = 36

x y  S
6

  H ( x, y) P( x, y) = 1/9 
x

y

x2

6

 ( xy ) =
y 2

= 1/9 ( 4 + 8 + 12 + 8 + 16 + 24+ 12 + 24 + 36 ) = 1/9 (144) = 16
2.

Se tiene una competencia de programadores. “X” es la fracción de programadores en lenguaje C y “Y” en lenguaje
Fortran, se describen mediante la función de densidad conjunta
24 xy ; 0 < x < 1 ; 0 < y < 1
f(x,y)=
0 ; en cualquier otro caso
Calcular: E ( 2x + 3y )
1

E(x) =

1

 
0

1

(x) 24xy dx dy =

0

1

 
0

0

1

1

1

24x2y dx dy =



1

24x2 y2/2dx]01 =

0



12 x2 dx =

0

E(x) = 12/3 x3]01 = 12/3 = 4
1

E(y) =

1

 
0

(y) 24xy dx dy =

0

 
0

1

24xy2 dx dy =

0


0

1

24y2 x2/2 dy]01 =



12 y2 dy =

0

E(y) = 12/3 y3]01 = 12/3 = 4
E ( 2x + 3y ) = 2 (4) + 3 (4) = 8 + 12 = 20
3.- Una instalación de Servicio telefónico opera con dos líneas de servicio. En un día seleccionado aleatoriamente,

sea “X” la proporción de tiempo queutiliza la primera línea y “Y” la proporción de tiempo que utiliza la segunda.
Suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta para ( x , y ) es:

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3/2 ( x² + y² ) ; 0 < x < 1 ; 0 < y < 1
f(x,y)=
0

; en otro caso.

Calcular: Covariancia σxy

Cov (x,y) = E ( x y ) – E ( x ) E ( y )
E(x,y)=









  H ( x, y) f (x, y)dxdy
1

E(x)=

1

 
0

(x)



1

2

3/2 ( x + y )

0

0

1

= 3/2

1

 dx dy = 3/2  

2

 

 01 dx = 3/2 

x3y + (xy3 / 3 )

( x3 + xy2 ) dx dy =

0

( x4 / 4 ) + ( x 2 / 6 )

 01 dx =

0

=3/2
1

E(y)=



1

 
0

(y)

(x4 / 4 ) + ( x2 / 6 )



 01 = 5 / 8 =
1

3/2 ( x2 + y2 )

1

 dx dy = 3/2  

0

0

1

= 3/2

0.625

 

( x3y / 3 ) + (xy3 / 3 )

( x2y + y3 ) dx dy =

0 01 dy = 3/2 

( y / 3 ) + ( y3 )

 01 dy =

0

= 3/2
1

E ( xy ) =

1

 
0

(xy)



(y2 / 6 ) + ( y4 / 4 )



3/2 ( x2 + y2 )

 01 = 5 / 8 = 0.625
1

0

0

1

= 3/2

 

1

 dx dy = 3/2  

( x4y / 4 ) + (x2 y3 / 2 )

( x3y + xy3 ) dx dy =

0

 01 dy = 3/2 

( y2 / 8 ) + ( y3 / 8 )

 01 dx =

0

=3/2



( 1/8 ) + ( 1/8 )

 =3/8=

0.375

Cov (x,y) = E ( x y ) – E ( x ) E ( y ) =(3/8) - (5/8)(5/8) = 3/8 - 25/64 = - 1/64 = - 0.015625

4.- Una fábrica cuenta con dos líneas de producción de cierto artículo. La capacidad en cualquier día dado para cada línea es
de dos artículos. Supóngase que el número de artículos producidos por la línea uno en un día cualquiera es una variable
aleatoria X y que el número de artículos producidos por la línea dos está dado por Y. Con base endatos estadísticos se obtuvo
la siguiente tabla que corresponde a la probabilidad conjunta de X y Y.

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f(x,y)
0
1
2

y

X
1
0.11
0.13
0.21

0
0.04
0.05
0.17

2
0.07
0.12
0.10

a)

Calcular la probabilidad de que en un día dado el número de artículos producidos en la línea uno sea mayor que el
número de artículos producidos en la líneados.
b) Obtener las probabilidades marginales de Y.
c) Determinar la función de probabilidad condicional de X dado Y=2
Solución:
a) P ( x > y ) = P (x=1, y=0) + P (x=2, y=0) + P (x=2, y=1) = 0.11 + 0.07 + 0.12 = 0.30 = 30%
b)
f(x,y)

y

X
1
0.11
0.13
0.21

0
0.04
0.05
0.17

0
1
2

2
0.07
0.12
0.10

Fy(y)
0.22
0.30
0.48

c) fx|y=1 (x|y=2)
fy (2) = 0.17 + 0.21 + 0.1 = 0.48
P ( X=0 | y=2 ) = fxy...