Exploracion Math 1

Luna de sangre: Geometría de un eclipse
Un eclipse es un fenómeno poco frecuente en el que un cuerpo celeste bloquea toda la luz que emite el otro. En la tierra, ocurre cuando el Sol, el planeta y la Luna están alineados. Existen dos tipos de eclipses: lunar y solar. Un eclipse también se denomina como sizigia 1 Un eclipse lunar sólo sucede cuando hay luna llena y la Tierra está en el medio dela Luna y el sol, oscureciendo a la primera. Por otro lado, un eclipse solar sólo ocurre cuando hay luna llena, cuando la Luna bloquea la luz que emite el Sol, interponiéndose entre este y la Tierra.
Un eclipse solo ocurre cuando los cuerpos celestiales están organizados de una manera determinada, y para poder predecir uno, se necesita incluso de las matemáticas y la geometría. Para el 2014 y el2015 se predijeron 4 ‘’Lunas de sangre’’ que ocurrirán dentro de intervalos de seis meses. Estos fenómenos nos son muy comunes, y ya que pasan una vez cada cierto tiempo (El próximo eclipse de esta clase esta predicho para el 2032) me interesa saber cómo funcionan y como se involucran con las matemáticas, probando que tan exactos son estos cálculos para predecir estos fenómenos y si es posible queverdaderamente ocurra el próximo eclipse en el 2032.
Una luna de sangre se define como el fenómeno en el que la Luna pasa por detrás de la sombra de la Tierra, siendo así que la Tierra dispersa la luz azul y verde, dejando pasar la roja. La Luna, al pasar por esta sombra, en vez de recibir la luz solar, recibirá el brillo rojo de la atmosfera de la Tierra. Durante el eclipse, la Luna y la Tierraestarán alineadas, coincidiendo con la gran cercanía del planeta Marte a la Tierra. La Luna pasa por la umbra de la tierra, la cual la cubre por completo, sin embargo, la atmosfera redirecciona los rayos permitiendo que el color rojo pase por ella y esta no quede totalmente cubierta.
El cálculo de los eclipses es principalmente, una combinación de geometría y mecánica orbital, por lo cual esnecesario entender primero que es la mecánica orbital. Primero, colocare un ejemplo: Imagine la mecánica orbital del movimiento de dos masas G1 y G2. Este problema de dos cuerpos, puede ser reducido a sólo uno mediante yendo alrededor de la masa total del sistema (G1+G2) situado en el centro de la masa. La órbita que queda de esta masa reducida es una elipse, la cual se describe en dos parámetros:Figura 1: Dibujo de una elipse

El eje semi-mayor denominado a y la excentricidad e. Para mayor claridad, en la figura, el eje semi-mayor está dada por la longitud OB. El centro de la masa, estaría ubicado en el foco de la elipse, en este caso, I. La ecuación de una elipse estaría dada de la siguiente manera:

Para simular la órbita las masas, también se debe saber el momento angular del sistema,que estaría definido como L. Este momento angular es una cantidad conservada, dada por la siguiente ecuación:

También es posible mostrar que el momento angular en términos de parámetros orbitales, dada por la siguiente ecuación:

Usando estas 3 ecuaciones, se puede obtener la órbita de la masa reducida como una función del tiempo, definida de la siguiente manera: Primero, se debe calcular elmomento angular del sistema usando la ecuación . Luego, se debe despejar la ecuación sabiendo, que se puede calcular el ángulo (θ) en cualquier instante del movimiento, utilizando el tiempo como dt 2 y despejando la fórmula de tal manera que quede más simple para sacar el ángulo: . Ahora, usando la ecuación: se saca la r, lo cual representa la posición de la masa reducida.
Por lo tanto la velocidadde la masa reducida en un r dado será:

La posición de los vectores de las dos masas, pueden obtenerse de las cantidades correspondientes de la masa reducida, siguiendo las siguientes ecuaciones:




Ahora, para determinar cómo se produce un eclipse, primero es necesario entender la función de las orbitas y las sombras que los planetas generan gracias al sol.
Primer Problema:
Una órbita es la...