Exponenciales

Ejemplo 6. Las funciones f (x) = sen x y g(x) = cos x son 27r—periódicas. La función tangente es (pi)—periódica. q
Observar que para conocer cómo es la gráfica de una función p—periódica basta con conocerla en un intervalo de amplitud p.
3.4.2. Algunas funciones elementales
Las funciones a menudo son agrupadas en familias de acuerdo a su forma o a otras características comunes. Algunas de lasfamilias más comunes son las siguientes.
Funciones lineales
Las funciones lineales son funciones de la forma y = mx + n,
con m y n números reales. Esta función es estrictamente creciente si m > 0 y estricta­mente decreciente si m < O.
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas o polinomios son funciones que se pueden expresar corno una suma finita de términos de la forma cx^n, donde e esuna constante real y n E N. En general, un polinomo de grado n puede escribirse como:
p(x) anx^n + + a2x2 a1x + ae.
donde los coeficientes a0, , a, son números reales. Una clave para comprender las gráficas de los polinomios es el resultado que afirma que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, por lo que se deduce que nunca puede tener más de n raíces reales distintas.Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son de gran utilidad para describir movimientos repetitivos que incluyen rotaciones, vibraciones y oscilaciones.
1. Función seno de x

Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades:
a)f () [-1, 1] luego f acotada.
0)Es impar.
a)Es 2 (pi) —periódica.
Función coseno de x
Esta función verifica, entre otras, lassiguientes propiedades:
a)f (R) [-1, 1] luego f acotada.
0)Es par.
(e) Es 27r—periódica.
Relaciones entre las funciones seno y coseno:
a)sen^2x + cose x = 1
b)sen (a, ± b) sena cos b cos a sen b e) cos (a b) cos a cos b sen a sen b
a + 13 a —
d) sen + sen f3 = 2 sen cos
2 2
a + a —
sen sen fi = 2 cos sen
2 2
—
cos a + cos = 2 cosa + cosa
2 2
a —
cos — cos = -2 sen a + /(32 sen 2
3. Función tangente de x

Dominio D = R \ {x E IR 1 eos x = 0} = R {(2k + 1)í, k E Z} Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades:
(a.) f (R) IR luego f no es acotada. (b) Es impar.
(e) Es 7r—periódica.
Funciones inversas de las funciones trigonométricas
1. Función arcoseno de x
f [-1,1] [—I 11 ,
arcsen x (y tq sen y = x)

Esta función verifica, entreotras, las siguientes propiedades:

a)f([-1, 1]) =
b)Es impar.
721] luego f acotada.

2. Función arcocoseno de x
f [-1, 1] [0, (pi)]
x —> arccos x (y tq cos y = x)
—1
Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades:
a)f ([-1 , 1]) = [O, (pi)] luego f acotada.
0)Es par.
o 1

3. Función arcotangente de x
(pi)/2
f: 1)
x —> arctan x (y tq tan y = x)
—(pi)/2
Estafunción verifica, entre otras, las siguientes propiedades:
a)f (R) = (—i, I) luego f acotada.
0)Es impar.
Funciones sinusoidales
Definición 3.4.5. La funciones de la forma y(x) Ksen(wx+ a) se llaman funciones sinusoidales.
Las constantes que aparecen en la definición reciben los siguientes nombres:
1.K > O es la amplitud.
0.La constante w > O es la frecuencia.
1.La constante a es la faseinicial.
Observar que una función sinusoidal es una función periódica de periodo P 2(pi)2(pi)/w y cuya gráfica se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = sen x. Si reescribimos la función en la forma:
y(x) = K sen(wx + a) = K sen

la gráfica de la función sinusoidal se puede obtener trasladando la gráfica de la función y = K sen (alf/w) unidades a la derecha o a la izquierda,dependiendo del signo de a. Las funciones y K sen Bx oscilan enre los valores —K y K y se repiten cada 2(PI)/B unidades, es decir, hay B ondas en un intervalo de amplitud 2(pi).
Ejemplo 7. Encontrar la amplitud, frecuencia, periodo y fase de la función sinusoidal y 2 sin(3t — 7r/4) y representarla gráficamente. Tenemos:
la amplitud K = 2
la frecuencia w = 3
la fase inicial a = —n/4
El periodo...