Exposicion funciones

Ecuación diferencial lineal
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Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general ycomprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de lafunción incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirsecomo:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrardichas soluciones.
Contenido[ocultar] * 1 Ecuación lineal de primer orden * 2 Ecuaciones lineales de orden n * 2.1 Resolución caso general * 2.2 Resolución con coeficientes constantes* 2.3 Ejemplos * 3 Véase también * 4 Enlaces externos |
[editar] Ecuación lineal de primer orden
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

Donde yson funciones continuas en un intervalo . La solución de esta ecuación viene dada por:

Resolución detalladaDesplegar
Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación,la idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar:

en la derivada de un producto.
Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemosdentro de la integral y por resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos

.
Ahora simultiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:

Lo que equivale a escribir:

Con .
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:

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