Extensiones De Cuerpos

1. EXTENSIONES DE CUERPOS.
Varios son los objetivos de este tema. El primero de ellos, resultado debido a
Kronecker, es probar que todo polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene una ra´
ız
en un cuerpo que extiende al de partida. El siguiente paso es demostrar la existencia
de un polinomio irreducible sobre el cuerpo base (con coeficientes en ´l) para cada
e
ra´ Por ultimo, describimoslas extensiones simples.
ız.
´

Ceros en extensiones.
En esta primera secci´n probaremos que todo polinomio no constante tiene un
o
cero. Antes, introduzcamos alguna terminolog´
ıa.
1.1. Definiciones.
Un cuerpo E se dice que es una extensi´n de cuerpos de un cuerpo F si
o
F ⊆ E , y F es un subanillo de E . F es llamado subcuerpo de E . Tambi´n se dice
e
simplemente que E es unaextensi´n de F . Este hecho, el ser E una subestructura
o
de F , lo denotaremos por: E ≤ F
1.2. Ejemplos.
(1) R es una extensi´n de Q, y C es una extensi´n de Q y de R.
o
o
(2) Aunque Q, R y C sean subanillos de H, los cuaterniones de Hamilton, H no es una
extensi´n de tales cuerpos porque no es un cuerpo (no es un anillo conmutativo).
o
Sin embargo, algunos autores no consideran laconmutatividad del producto entre
los axiomas de cuerpo; as, cuando el anillo subyacente es conmutativo, dichos
autores hablan de cuerpo conmutativo.
(3) Sea F un cuerpo arbitrario, y x, y indeterminadas. Consideremos los cuerpos
de fracciones de los anillos de polinomios F [x], F [y ] y F [x, y ] (que son dominios
de integridad), denotados por F (x), F (y ) y F (x, y ), respectivamente. Se tieneentonces que F ≤ F [x] ≤ F [x, y ] y que F ≤ F [y ] ≤ F [x, y ].
1.3. Diagramas.
Con objeto de tener una visi´n de las relaciones existentes entre ciertos cuerpos
o
(cuando las haya), utilizaremos diagrames de ret´
ıculos, siendo cada cuerpo extensi´n
o
de los inferiores. As´ los ejemplos (1) y (3) de (1.2) ser´ representados como sigue:
ı,
ıan
C
|
R
|
Q

F (x, y )
/\
F (x) F (y )
\/F (x, y )
1

´
´
Algebra Clasica. Curso 03/04

2

1.4. Teorema.
Sea F un cuerpo, y sea f (x) un polinomio no constante de F [x]. Entonces existe
un cuerpo E , extensi´n de F , donde f tiene un cero, esto es, existe α ∈ E tal que
o
f (α) = 0.
Demostraci´n:
o
Sabemos que f (x) se descompone en F [x] en factores irreducibles sobre F . Sea
p(x) uno de estos factores. Basta probarque existe una extensi´n E de F donde p(x)
o
tenga un cero.
Como p(x) es irreducible, el ideal < p(x) > es maximal en F [x], y por tanto
E := F (x)/ < p(x) > es un cuerpo. La siguiente aplicaci´n:
o
ϕ:

F
→ F [x]/ < p(x) >
ϕ(a) →
a

es un monomorfismo de anillos. Si identificamos F con su imagen (ϕ(E ) = {a | a ∈
F }) resulta que F puede verse como subcuerpo de E . Falta probar que Econtiene
un cero de F . Llamemos α = x ∈ E y consideremos el homomorfismo evaluaci´n
o
n
Φα : F [x] → E . Si p(x) = a0 + a1 x + . . . + an x , con a0 , a1 , . . . , an ∈ F . Entonces se
tiene: Φα (p(x)) = a0 + a1 x + . . . an xn = a0 + a1 x + . . . + an xn = p(x) = 0, esto es,
α es un cero de p(x) en E .
1.5. Observaci´n.
o
El cuerpo E construido en (1.4) se denota por F (α) y sus elementosson de la
forma a0 + a1 α + . . . + an αn , donde n + 1 = deg (p(x)). Esto lo probaremos al final
del tema.
1.6. Ejemplos.
(1) Podemos tomar en (1.4) F = R y f (x) = x2 + 1. El cuerpo R[x]/ < x2 + 1 > es
isomorfo a C.
(2) Consideremos en (1.4) F = Q y sea f (x) = x4 − 5x2 + 6. En este caso,
como f (x) = (x2 − 2)(x2 − 3), podemos encontrar dos cuerpos extensi´n de
o
2
2
F : Q[x]/< x − 2 >y Q[x]/ < x − 3 >.

Elementos algebraicos y trascendentales.
1.7. Definiciones.
Sean E y F cuerpos, F ≤ E . Un elemento α ∈ E se dice que es algebraico
sobre F si es cero de alg´ n polinomio no nulo de F [x]. En caso contrario se dice
u
que el elemento α es trascendental sobre F . (Trascendental es la traducci´n literal
o

´
´
Algebra Clasica. Curso 03/04

3

del ingl´s...