Física (Vectores)

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

IES La Magdalena.
Avilés. Asturias

Magnitudes escalares y vectoriales
La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en dos grandes grupos:
 Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 g ; 25 0 C ; 54,65 s… Son las llamadas magnitudes escalares.
 Magnitudes que para estar correctamente especificadas se requiereconocer:
Su valor o módulo.
Su dirección (representada por una recta)
Su sentido (que se representa por una punta de flecha)
Son las llamadas magnitudes vectoriales que usan para su representación flechas o vectores.
Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas.

Igualdad de dos vectores:
Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismosentido.

Producto de un escalar (número) por un vector

Ejemplos:

3v

Es un vector:
 De módulo el producto del número por el módulo del vector.

v

0,5 v
2 v

 Dirección, la del vector.
 Sentido, el mismo del vector si el número es
positivo y contrario si es negativo.
Al multiplicar un número por un vector obtenemos
otro vector de la misma dirección y sentido que elprimero (si el número es positivo), pero mayor o más
pequeño. O bien, un vector (mayor o más pequeño)
que apunta en sentido contrario al dado (si el número
es negativo)

Suma de vectores
Al sumar dos vectores se obtiene otro
vector (vector suma o resultante).
Para obtener el vector suma es necesario
recurrir a lo que se conoce como “regla
del paralelogramo”. Esto es, se construye
unparalelogramo que tenga los vectores
como lados y se traza la diagonal del
mismo para obtener el vector suma.

El vector suma S produce el mismo
efecto actuando solo que los vectores


A y


B actuando a la vez.

1.Trazar por el extremo
de A una paralela a B


A

2. Trazar por el extremo
de B una paralela a A


B

3. Trazar la diagonal
del paralelogramo para
obtener elvector suma
o resultante.

1

Resta de vectores
Al restar dos vectores se obtiene otro vector.
Para obtener el vector resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo, teniendo en cuenta
que la diferencia puede ser considerada como la suma de un vector y su opuesto:

 

B A B  A

A



B

1. Obtener el vector ( - A)


-A




A

… aunque existe unprocedimiento abreviado:


B

Para RESTAR

Para SUMAR

Unir los extremos de ambos vectores y asignar
como sentido del vector diferencia el que va
del sustraendo al minuendo.

Construir el paralelogramo y trazar la diagonal

A

Unir los extremos
de ambos vectores
(dirección) y trazar
la flecha (sentido)
del sustraendo al
minuendo.


D

Si los vectores son perpendiculares:S  AB



2. Sumar B + ( - A)

D1  A  B

A

A

B

B

B

D2  B  A

Observa que A  B  B  A ya que son
vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos contrarios.
Tanto para la suma como para la resta. Si
queremos obtener el valor del vector resultante, tendremos que hacer:

Si queremos saber el ángulo que forma con el eje x
podemosutilizar la función tangente:

S2  A 2  B2 ; S  A 2  B2
D2  A 2  B2 ; D  A 2  B2

A



tg  

A
A
;   invtg  
B
B

B
2

Componentes de un vector
Siempre podemos descomponer un vector en sus dos componentes. Es decir, obtener otros dos vectores perpendiculares que, actuando a la vez, produzcan el mismo efecto que el vector considerado actuando solo.
1. Trazar unaparalela al eje X

v

vy

2. Trazar una
paralela al eje Y

Componente y

vx
Componente x
Para obtener el valor (módulo) de las componentes:

vx = v. cos α
vy = v . sen α

v

vy

α

vx
Expresión de un vector en función de los vectores unitarios
Aprovechando el concepto de producto de un escalar por un vector se pueden obtener una notación muy
útil para representar los...