Física
a
ım
1. (a) Determineu el suprem, l’´ fim, el m`xim i el m´nim, quan existeixin, dels
ın
a
ı
conjunts seguents:
¨
(−1)n +
1
: n ∈N ; {x ∈ R : x < 0 i x2 +x−1 < 0}; {2−n +3−m : n, m ∈ N}.
n
(b) Sigui A un conjunt de numeros reals que compleix
´
(i) A = ∅, A = R.
(ii) Si x ∈ A i x < x, llavors x ∈ A.
(iii) Si x ∈ A hi haun numero x ∈ A amb x < x .
´
Proveu que A ´s acotat superiorment i A = {x ∈ R : x < sup A}.
e
2. Determineu exactament els conjunts de punts de R definits per les desigualtats:
(a) x2 + 2x −5 > 0,
(b) x4 − x2 − 1 < 0,
(c) x4 + 3x3 + 3x2 + x > 0,
(d)
(e)
x+2
1
>,
3x − 1
2
2x2 − 1
4
≤,
x2 − 1
3
(f ) |x − 1| + |x2 − 2| ≥ |x − 4| + 2.
3. Siguin a, b, c tres numerospositius. Raoneu
´
(a) a ≤ b ´s equivalent a
e
(b)
√
ab ≤
a
b
≤
.
1+a
1+b
a+b
.
2
a
b
c
≤
+
.
1+a
1+b 1+c
√
4. Considereu les funcions f (x) = sin x, g (x) = 3 x, h(x, y, z ) = (x − y 2 , ez , 1 − y 3 ),
r(x, y , z ) = log(x2 + y 2 + z 2 ). Calculeu f ◦ g ◦ f , g ◦ · · · ◦ g (n vegades), g ◦ g ◦ f , r ◦
h ◦ h, g ◦ r ◦ h.
(c) a ≤ b + c implica
5. Determineuquines de les funcions seguents s´n injectives, exhaustives o bijectives.
¨
o
Trobeu les seves inverses en el cas que en tinguin i preciseu on estan definides.
(a) f (x) =
ax + b
, ad − bc = 0,cx + d
(b) g (x) =
1
+ x,
x
ex − e−x
ex + e−x
= sinh(x), h1 (x) =
= cosh(x),
2
2
√
(d) k (x) = arctan( 3 x),
√
(e) l(x) = −2 + 5 1 + e−x ,
(c) h(x) =
(f ) s(x) =
3x3 − 5
.x3 + 4
6. Sigui f , g : R −→ R dues funcions reals. Demostreu:
(a) Si f ◦ g ´s injectiva, llavors g ha de ser injectiva. Doneu un exemple en el
e
qual es compleixi la hip`tesis per` f no siguiinjectiva.
o
o
(b) Si f ◦ g ´s exhaustiva, llavors f ha de ser exhaustiva. Doneu un exemple en
e
el qual es compleixi la hip`otesis per` g no sigui exhaustiva.
o
o
C 1. Determineu exactament...
Regístrate para leer el documento completo.