Física

Dinámica
Fuerzas conservativas y no conservativas
Trabajo y energía

Fuerzas conservativas
• Una fuerza es conservativa cuando cumple los siguientes criterios:
1. Existe una función escalar U(r) tal que:
En un espacio 1D :
En un espacio 3D:

 dU dU dU 

− dU
F ( x ) = −
F( x ) =
 dx , dy , dz 

dx


2. El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos no dependedel
camino sino de los puntos inicial y final.
y2
z2
x2
y2
z2
   x2
dU
dU
dU
W = ∫ F ( r ).dr = ∫ Fx ( x )dx + ∫ Fy ( y )dy + ∫ Fz ( z )dz = − ∫
dx − ∫
dy − ∫
dz
dx
dy
dz
1
x1
y1
z1
x1
y1
z1
2

2



W = − ∫ dU = −U ( r2 ) + U ( r1 )
1

Como consecuencia el trabajo en cualquier trayectoria cerrada, que empieza y
termina en el mismo punto del espacio, es 03. Las componentes de la fuerza cumplen lo siguiente:
dFx dFy
=
dy
dx

dFz dFx
=
dx
dz

dFz dFy
=
dy
dz

fuerzas conservativas
• La fuerza gravitatoria


m1m2 
m1m2
F1→2 = −G 2 r12 U1(r ) = −G
r
r

• La fuerza eléctrica



q1q2 
q1q2
F1→2 = K 2 r12 U1(r ) = K
r
r

• La fuerza elástica, p.ej. un muelle ideal:
1 2
F = −kx U = kx
2

Esta fuerza esproporcional al desplazamiento y se opone al mismo.
Cuando estiro un muelle la fuerza del muelle se opone al
alargamiento del mismo.

Fuerzas no conservativas: fuerzas de fricción o rozamiento
• Las fuerzas de rozamiento. Son fuerzas de origen electromagnético
asociada a la interacción de los núcleos atómicos y electrones de las capas
más externas.
• Hay dos tipos de fuerza de rozamiento:
1.Rozamiento estático. Es la fuerza que evita que el cuerpo se deslice
cuando está en reposo. Se opone al movimiento del cuerpo. Su
intensidad es variable, entre 0 y cierto valor máximo fe,max. Aumenta a
medida que aumenta la fuerza ejercida sobre el cuerpo.
fe,max es proporcional a la normal N, la fuerza de reacción de la superficie
sobre la que está el cuerpo.
|FR,e max| = μe |N|
2.Rozamiento cinético o dinámico. Es una fuerza que experimental el
cuero cuando empieza a moverse. Es de sentido opuesto al movimiento.
Se observa experimentalmente que su módulo es proporcional a la fuerza
de reacción de la superficie sobre la que se encuentra el cuerpo, N.
| FR,c |= μc |N|
μe y μc dependen de la naturaleza de las superficies de contacto y de la
temperatura y se cumple que μe > μcFuerza sobre un cuerpo en un plano horizontal
con rozamiento
Y

N
F

FR

X
P= mg

 

F + FR = ma ⇒ F − FR = ma
 
P+N =0⇒ N −P =0

FR = µN
N = P = mg ⇒ FR = µmg

F − µmg
F − FR = F − µmg = ma ⇒ a =
m

Fuerzas sobre un cuerpo sobre un plano inclinado
N

FR

Y

Pt
Pn

P

X
α
Pn = P cos α = mg cos α

El peso P se descompone en dos
componentes, Pt ,paralela al plano y Pn
normal al plano
N es la fuerza de reacción del plano
sobre el cuerpo y tiene dirección
perpendicular al plano
Se aplica la tercera ley en el sentido del
plano y en la dirección normal al plano

Pt = Psenα = mgsenα
Pn − N = 0
Pt − FR = ma



| FR |= µ | N |= µPn = µmg cos α
Pt − µmg cos α = ma ⇒ mgsenα − µmg cos α = ma

a=

mgsenα − µmg cos α
= g ( senα −µ cos α )
m

Tensiones en una cuerda
Y

m3


T2

m2


− T2


T1


− T1

m1


F

X

F − T1 = m1a
T1 − T2 = m2a
T2 = m3a

La suma de los miembros de la izquierda de cada una de las ecuaciones debe ser
igual a la suma de los miembros de la derecha

F − T1 + T1 − T2 + T2 = F = m1a + m2a + m3a = ( m1 + m2 + m3 )a

T2 = m3a =

m3
F
m1 + m2 + m3

a=

T1= T2 + m2 a = m3a + m2 a = ( m2 + m3 )a =

F
m1 + m2 + m3

m2 + m3
F
m1 + m2 + m3

Trabajo realizado por una fuerza
Se define el trabajo realizado por una fueza F desde el punto del espacio con
vector posición r como:
1

 
W = ∫ F .dr
2

1C

En general el trabajo depende del camino, de la trayectoria que
elija para ir de 1 a 2

2



 
dv
Por la 2ª ley de...