Fórmula de herón

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Demostración de la fórmula de Herón
Santiago Peña. Centro Grial. VA. 2010.

1.- Teorema (Fórmula de Herón).
En todo triángulo ABC se cumple que su área A se puede calcular como A donde p es elsemiperímetro, p  abc. 2 pp a p b p c

2.- Demostración.
Sabemos que el área de un triángulo es igual a A  1 ab sin C 2 (expresión trigonométrica del área). Elevando al cuadrado: A 2  1 a 2 b 2sin 2 C. 4 y multiplicando por 4, 4A 2  a 2 b 2 sin 2 C. Por otra parte, del teorema del coseno c 2  a 2  b 2 2ab cos C se deduce que 2 2 c2 cos C  a  b 2ab que elevando al cuadrado nos da cos 2C  a2  b2 c2 4a 2 b 2
2

1

lo que multiplicando por a 2 b 2 se transforma en a 2 b 2 cos 2 C  1 a 2  b 2 4 o, lo que es igual, 1 a2  b2 4 c2
2

c2

2

 a 2 b 2 cos 2 C

2

Siahora sumamos las ecuaciones 1 y 2 tenemos 4A 2  1 a 2  b 2 c 2 2  a 2 b 2 sin 2 C  a 2 b 2 cos 2 C. 4 El lado derecho se puede simplificar: a 2 b 2 sin 2 C  a 2 b 2 cos 2 C  a 2 b 2 sin 2 C cos 2 C  a 2 b 2 1  a 2 b 2 con lo que la ecuación 3 queda como 4A 2  1 a 2  b 2 4 Multiplicando por 4 : 1 c2
2

3

 a2b2.

16A 2  a 2  b 2 que se transforma en 16A 2  4a 2 b 2 4a 2 b 2   2ab 2ab 2ab    c a b a2  b2 c2
2

c2

2

 4a 2 b 2 c2
2

a2  b2
2

4 c2 c2 c2 c2   ab c   
2

Vamos a reescribir el lado derecho de otra forma:  2ab a2  b2  a2  b2 a2 a2 a c2

c2

2ab  a 2  b 2 2ab  a 2  b 2 2ab  a 2  b 2 ab ab ab
2

b2  c2 b2  c2 b a
2

 c2 b b
2

c2 c2 c

2

c a

 abc a bc ab c abc lo quevolviendo a la ecuación 4 nos da la expresión 16A 2  a  b  c a b  c a  b c a  b  c . Estudiemos los factores del lado derecho, teniendo en cuenta que p  a  b  c Í 2p  a  b  c 2 abc  abc abc  abc c  abc ab 2a  2p 2b  2p 2c  2p 2a  2 p 2b  2 p 2c  2 p a b c

5

a  b  c  2p y así se transforma la ecuación 5 en 16A 2  2 p

a 2p

b 2p

c 2p

16A 2  16p p a p...
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