Factorización

1.- PRODUCTOS NOTABLES: Representan casos de interés de multiplicación de polinomios.

1) Monomio por monomio a•b = a•b
2) Monomio por polinomio a(c + d) = ac + ad
3) Polinomio por polinomio (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
4) Binomio cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
5) Suma por diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b2
Ejemplos:

1) Monomio pormonomio a•b = a•b
a) (–4x3y)( –2xy2) = (–4)( –2)( x3x )( yy2 ) = 8x4y3
b) (ab)(4a2b2)( –5a3b4) = 4(–5)( aa2a3 )( bb2b4 ) = –20a6b7
2) Monomio por polinomio a(c + d) = ac + ad
a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2
b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b

3) Polinomio por polinomio (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd


Ejemplos:
a) (x – 1)(x + 5) = x2 + 5x – x – 5= x2 + 4x – 5
b) (2a + b)(3a – b) = 6a2 – 2ab + 3ab – b2
= 6a2 + ab – b2
c) (p + 2)(3p + 4) = 3p2 + 4p + 6p + 8
= 3p2 + 10p + 8

4) Binomio cuadrado (a + b)2 , (a – b)2


(a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplos:
a) (x + 3)2 = x2 + 2(3x) + 32 = x2 + 6x + 9
b) (x – 3)2 = x2 –2(3x) + 32 = x2 – 6x + 9
c) (2a + b)2 = (2a)2 + 2(2a)b + b2 = 4a2 + 4ab + b2
d) (3a – 5b)2 = (3a)2 – 2(3a)(5b) + (–5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2
5) Suma por diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b2


Ejemplos:
a) (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
b) (2a – 1)(2a + 1) = (2a)2 – (1)2 = 4a2 – 1
c) (3x – 2y)(3x + 2y) = (3x)2 – (2y)2 = 9x2 – 4y2

2.- DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES(Factorización)

1) Factor común monomio ac + ad = a(c + d)
2) Trinomio cuadrado perfecto a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
3) Forma an bn
a2 – b2 = (a + b)(a – b) a2 + b2 = Irreductible en IR
4) Trinomio cuadrado perfecto x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejemplos:
1) Factor común monomio ac + ad = a(c + d)

Factorizar las siguientes expresiones:a) 6x – 3y = 2(3)x – (3)y = 3(2x – y)
b) –4xy + 8x = –(4x)y + 2(4x) = 4x(–y + 2)
c) 9a2 + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b)
d) 5x3y – 10x2y2 + 15xy3 = (5xy)x2 – (5xy)2xy + (5xy)3y2
= 5xy(x2 – 2xy + 3y2)

2) Trinomio cuadrado perfecto a2 2ab + b2 = (a b)2

Ejemplos:
a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3x) +(3)2 = (x + 3)2
b) x2 + 8x +16 = x2 + 2(4x) + (4)2 = (x + 4)2
c) x2 – 6x + 9 = x2 – 2(3x) +(3)2 = (x – 3)2
d) x2 – 8x + 16 = x2 – 2(4x) + (4)2 = (x – 4)2
3) Forma an bn

Ejemplos:
TIPO a2 – b2
a) x2 – 1 = x2 – 12 = (x – 1)(x + 1)
b) 4x2 – 16 = (2x)2 – 42 = (2x – 4)(2x + 4)
TIPO a2 + b2
a) x2 + 1 No se puede factorizar en IR
b) x2 + 25 No se puede factorizar en IR
TIPO a3 – b3
a)x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9)
b) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)

TIPO a3 + b3
a) x3 + 1 = x3 + 13 = (x +1)(x2 – x + 1)
b) x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5)(x2 – 5x + 25)
4) Trinomio cuadrado perfecto x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones:
Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo.
a) x2 – 7x + 6 = x2 +(–1 – 6) x + (–1)( –6) = (x – 1)(x – 6)
b) x2 + 9x + 20 = x2 + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4)
c) x2 – x – 2 = x2 + (1 – 2)x + (1)( –2) = (x + 1)(x – 2)
d) x2 – 6x + 8 = x2 + (–2 – 4)x + (–2)( –4) = (x – 2)(x – 4)

Factor Común
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, ola combinación de los dos). Ejemplo:


Factor Común por agrupación de términos
Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:






Casos para Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:
• El primer y...