Factorizacion Lu

Índice……….
* Caratula……… 1

* Objetivo de la práctica………2

* Desarrollo teórico………3

* Método de descomposición LU………3

* Revisión de la descomposición LU………3

* Pasos de la descomposición LU………4

* Versión de eliminación de Gauss usando la descomposición Lu ……… 4

* Código fuente en C………6

* Código fuente en MatLab………7

* Diagrama de flujo………8* Conclusiones………10

Objetivo de la práctica:

La práctica tiene como objetivo comprobar el método numérico de factorización LU. La cual tiene como puntos principales:
a) Eliminación hacia adelante formando L y U
b) Sustitución hacia adelante (Ly=b)
c) Sustitución hacia atrás (Ux=y)
Desarrollo teórico.

Descomposición LU:

El principal recurso de la descomposición LU esque el paso de la eliminación que toma mucho tiempo se puede formular de tal manera que involucre sólo operaciones con la matriz de coeficientes [A]. Por esto, es muy adecuado para aquellas situaciones donde se deben evaluar muchos vectores {B} del lado derecho para un solo valor de [A]. Aunque hay muchas formas de hacer esto, por el momento nos enfocaremos en el análisis de cómo el método deeliminación de Gauss se implementa como descomposición LU.

Como sabes el método de eliminación de Gauss sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales,
[A]{X}={B}…….1
Aunque la eliminación de Gauss representa una forma satisfactoria para resolver ecuaciones con los mismos coeficientes [A], pero con diferentes constantes del lado derecho (las b).

Recordemos que la eliminación de Gaussbásicamente comprende dos pasos que es la eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás. De ambas, el paso hacia adelante es el que representa la mayor parte del trabajo computacional. Esto es particularmente cierto para grandes sistemas de ecuaciones.

Los métodos de descomposición LU separan el tiempo usado en las eliminaciones para la matriz [A] de las manipulaciones del lado derecho {B}.Una vez que [A] se ha “descompuesto”, los múltiples vectores del lado derecho {B} se pueden evaluar de manera eficiente .

El hecho de que la misma eliminación de Gauss se pueda expresar como una descomposición LU es muy interesante. Antes de mostrar como se puede realizar esto, demos primero una demostración matemática de la estrategia de descomposición.

Revisión de la descomposición LU.De manera similar al caso de la eliminación de Gauss, la descomposición Lu requiere de pivoteo para evitar la división entre cero. Sin embargo, para simplificar la siguiente descripción, abordemos el tema del pivoteo después de que el planteamiento fundamental se haya elaborado. Además, la siguiente explicación se limitara a u7n conjunto de tres ecuaciones simultáneas. Los resultados se puedenextender en forma directa a n dimencionales.

La ecuación (1) se reordena como
[A]{X}-{B]=0…….(2)

Observe que esto es similar a la manipulación que ocurre en el primer paso de la eliminación de Gauss. Es decir, se utiliza la eliminación para reducir el sistema a una forma triangular superior. La ecuación (2) también se expresa en notación matricial y se reordena como

[U]{X}-{D]=0….(3)Ahora suponga que existe una matriz diagonal inferior con e números 1 en la diagonal,

100l10ll1…….(4)

Que tiene la propiedad de que cuando se per multiplica por la ecuación (3), el resultado es la ecuación (2). Es decir,

[L]{[U]{X}-{D}}=[A]{X}-{B}……(5)

Si esta ecuación se satisface, según las reglas de la multiplicación entre matrices, es obtendrá

[L][U]=[A]….(7)
Y[L]{D}={B}….(8)
Pasos de la descomposición LU.
1. Paso de descomposición LU. [A] se factoriza o se “descompone” en las matrices triangulares inferior [L] y superior [U].
2. Paso de la sustitución. [L] [U] se usan para determinar una solución {X} para un lado derecho {B}. este paso, a su vez, se divide en dos. Primero, la ecuación (8) se usa para generar un vector intermedio {D} mediante sustitución...