Factorizacion

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Para factorizar polinomios hay varios métodos:
Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión, basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y haycoeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.
Ejemplo:

Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.
Se basa en la siguiente fórmula

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice  escribo

Ejemplo:

Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio
Se basa en las siguientesfórmulas
   y   
Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Ejemplo:

Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo
, siendo a, b y c números
Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas,  y se aplica la siguiente fórmula:
Ejemplo:

Para cualquier polinomio quetenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado  tiene cuatro raíces enteras, , ,  y  se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini
Ejemplo:
Factorizar
Se aplica laregla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12
Probemos con uno
Se copian los coeficientes del polinomio:

1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
Y se escribe en una segunda línea el número uno

| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | | | | |
| | | | | |
El primer coeficiente se copiaabajo en una tercera línea

| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | | | | |
| 1 | | | | |
| | | | | |

Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4
| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | 1 | | | |
| 1 | | | | |Se suma –4+1=-3

| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | 1 | | | |
| 1 | -3 | | | |
Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | 1 | -3 | | |
| 1 | -3 | | | |
Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | 1 | -3 | -4 | 12 |
| 1 | -3 | -4 | 12 | 0 |
Como vemos la última sumaha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.
Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.
Si escribimos la relaciónfundamental de una división entera, o sea que
Dividendo=Divisor x Cociente+Resto
= =
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.
Aplicando sucesivas veces esta regla queda:

| 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 | | 1 | -3 | -4 | 12 |
| 1 | -3 | -4 | 12 | 0 |
2 | | 2 | -2 | -12 | || 1 | -1 | -6 | 0 | |
-2 | | -2 | 6 | | |
| 1 | -3 | 0 | | |
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3
La factorización final es:
=
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.
Expresiones racionales
Las expresiones racionales se describen de la misma manera...