Factorizacion

APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Pág. 1 de 7

FACTORIZ ACIÓN DE PO LINOMIO S
Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen el resultado sería dicho polinomio. El método más adecuado para factorizar un polinomio P(x) depende de cómosea éste y de cuáles sean tus dotes de observación pero, ten presente que todos se basan en la misma idea: ¿qué multiplicación tiene como resultado el polinomio P(x)? Los pasos (cada uno responde a un método) que hay que seguir para factorizar un polinomio son (y es conveniente que se siga el orden señalado) los siguientes: 1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a·b ± a·c ± a·d ± …=a·(b ± c ± d ± …): Un polinomio es una suma de monomios y en cada monomio únicamente hay multiplicaciones (las potencias de exponente natural representan un producto de factores iguales) y si todos los monomios tuviesen algún factor en común, dicho factor multiplicaría al polinomio resultante de quitárselo a cada monomio.
Ejemplo 1: Descomposición en factores del binomio 4x2 – 6x: Como 4x2 = 2 ·2 · x · x
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:Recuerda:: Un polinomio, P(x), es una expresión de la forma P(x) = a0 + a1·x1 + a2·x2 + … + anxn en la que a0, a1, a2, … an son números reales conocidos y la letra x es la indeterminada del polinomio (sus exponentes tienen que ser números naturales). Si se sustituye la inderminada, x, por un número, k, y se efectúan las operaciones, el resultado, P(k), que se obtiene se denominavalor numérico de P(x) para x = k.

:Recuerda:: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO, RESPECTO A LA SUMA: a·(b + c) = a·b + a·c Esta propiedad nos dice que el resultado de hacer las operaciones del primer miembro (una suma y una multiplicación) es el mismo que el de realizar las del segundo (dos multiplicaciones y una suma). Lo comprobaremos con un ejemplo numérico: 2·(7 + 3) = 2·10 = 20 2·7 + 2·3= 14 + 6 = 20 En el conjunto de los polinomios, también se cumple la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

y

6x = 2 · 3 · x

Los factores subrayados están en los dos términos por lo que 4x + 6x = 2·2·x·x + 2·3·x= 2·x·(2x + 3) es decir ·4x – 6x = 2x·(2x – 3)) Ejercicio 1: Factoriza los polinomios que se indican sacando factor común: a) 5x5 – x4 + 3x2 ; b) 2x3 + x ; c) 6x3– 15x2 + 3x ; d) 2x2 + 3x + 2
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2º) Si se trata de una diferencia de cuadrados se descompone en suma por diferencia de la siguiente forma: :a2 – b2 = (a + b)·(a – b):
Ejemplo 2: Descomposición en factores de 4x2 – 1 Como 4x = (2x)
2 2 2 2 2:Recuerda:: (a + b)·(a – b) = a2 – b2 Esta expresión algebraica es una identidad y, por tanto, se cumple para cualesquiera que sean los números a y b. Por ejemplo, para a = 10 y b = 8 (10 + 8)·(10 – 8) = 18 · 2 = 36 102 – 82 = 100 – 64 = 36

y

1=1 ;
2

2

se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto:

4x – 1 = (2x) – 1 = (2x + 1) · (2x – 1) es decir: :4x – 1 = (2x + 1)·(2x – 1):Ejercicio 2: Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: a) x + 9 ;
2 2 2 5

b) 50x – 8 ;

c) 9x – 2 ;

d) x – x :Vocabulario:: Al trinomio que es cuadrado de un binomio se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto. a2 + 2ab + b2 y a2 – 2ab + b2 son trinomios cuadrados perfectos porque

3º) Cuando se trata de un trinomio, puede ocurrir que sea el cuadrado de un binomio

:a2 ± 2ab +b2 = (a ± b)2:
Por eso, debemos comprobar si dos de los sumandos (el de mayor grado y el término independiente) son el cuadrado de dos monomios y el otro sumando es el doble del producto de dichos monomios.
Ejemplo 3: Factorización del polinomio 9x4 – 6x2 + 1 Como 9x4 = (3x2)2 , 1 = 12 y
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:Recuerda:: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Dos identidades más, como puedes...