factorizacion

Funciones y gr´ficas
a
En este cap´
ıtulo estudiamos las propiedades de funciones, para lo cual
usamos m´todos algebraicos y gr´ficos que incluyen la localizaci´n de puntos,
e
a
o
determinaci´n de simetr´ y desplazamientos horizontales y verticales.
o
ıas
Introducimos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en
un plano por medio dos rectas coordenadas perpendicularesllamadas ejes
coordenados, que se cortan en el origen O (ver figura). La recta horizontal
recibe el nombre de “eje x”y la vertical el de “eje y”; se indican con X e Y
respectivamente. Con lo anterior, se trata de un plano coordenado o plano xy.
Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo,
tercero y cuarto cuadrantes (ver figura; I, II, III, IV). Los puntos de los ejesno pertenecen a cuadrante alguno.
Y
T

II

'

I

EX

O
IV

III
c

A cada punto P de un plano xy se le puede asignar un par ordenado (a, b),
seg´n se aprecia en la figura siguiente. El primer elemento del par ordenado
u
es llamado la coordenada x (o absisa) de P y el segundo elemento del par
ordenado es llamado la coordenada y (u ordenada) de P . Decimos que P
tienecoordenadas (a, b) y nos referimos al punto (a, b) o al punto P (a, b). A
1

la inversa, todo par ordenado (a, b) determina al punto P con coordenadas a
y b.
Y
T

• (a, b)

b

'

E
X

O

a

c

Podemos utilizar el teorema de Pit´goras para definir la distancia entre
a
dos puntos de un plano coordenado.
Definici´n 1 La distancia d(P1 , P2 ) entre dos puntos cualesquiera P1 (x1 , y1 )o
y P2 (x2 , y2 ) de un plano coordenado es
d(P1 , P2 ) =

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

La f´rmula anterior para defininir la distancia entre dos puntos del plano no
o
es la unica. Otra definici´n es:
´
o
d(P1 , P2 ) = max{|x2 − x1 | , |y2 − y1 |}.
Podemos hallar el punto medio de un segmento de recta de P1 (x1 , y1 ) a
P2 (x2 , y2 ) como:

x1 + x2 y1 + y2
,
2
2

.

N´teseque la coordenada x del punto medio corresponde al promedio de las
o
coordenadas x. An´logamente para la coordenada y.
a
2

Ejemplo: El punto medio M del segmento de recta de P1 (−2, 3) a P2 (4, −2)
es
M=

−2 + 4 3 + (−2)
,
2
2

=

1,

1
2

observemos, adicionalmente, que la distancia de P1 a M es igual a la distancia
de P2 a M ya que:
d(P1 , M ) =

1
(1 + 2)2 + ( − 3)2 =2

9+

25
4

d(P2 , M ) =

1
(1 − 4)2 + ( + 2)2 =
2

9+

25
.
4

y

As´ d(P1 , M ) = d(P2 , M ).
ı,

0.1

Gr´ficas de ecuaciones
a

En ocasiones, dos cantidades se relacionan por medio de una ecuaci´n o
o
f´rmula con dos variables. Por ejemplo y = x2 ´ y 2 = 5x − 1. En esta
o
o
secci´n, analizaremos c´mo representar geom´tricamente tal ecuaci´n con
o
o
e
ouna gr´fica en un plano coordenado. La gr´fica puede servir para descubrir
a
a
propiedades de las cantidades que no eran evidentes en la simple ecuaci´n.
o
Cada soluci´n (a, b) de una ecuaci´n en x y y tiene un punto P (a, b) en
o
o
un plano coordenado. El conjunto de todos estos n´meros es la gr´fica de la
u
a
ecuaci´n.
o
Para trazar la gr´fica de la ecuaci´n, ilustramos las caracter´
ao
ısticas re levantes de la gr´fica de un plano coordenado. En casos sencillos se traza
a
localizando unos cuantos puntos, si los hay. Con una ecuaci´n complicada,
o
la ubicaci´n de puntos puede dar muy poca informaci´n sobre la gr´fica. En
o
o
a
3

tales casos, conviene utilizar m´todos de c´lculo.
e
a
Ejemplo: Trazar la gr´fica de la ecuaci´n y = 2x − 1.
a
o
Deseamos encontrarlos puntos (x, y) de un plano coordenado que corres pondan a las soluciones de la ecuaci´n. Es util anotar las coordenadas de
o
´
varios de tales puntos en una tabla, donde para cada x obtenemos el valor
de y para y = 2x − 1:
x

-3

-2 -1

0

1 2

3

y

-7

-5 -3 -1

1 3

5

Es evidente que los puntos con estas coordenadas se encuentran en una recta
por lo que trazamos...