factorizacion

Factorización

Prof. Marvin Montiel Araya

Factorización de Polinomios
Objetivo:
Efectuar la factorización de
combinación de métodos.

polinomios en forma completa mediante la

Contenido:
Factorización por factor común.
Factorización por diferencia de cuadrados.
Factorización del trinomio cuadrático.
Factorización por agrupación.

FACTORIZAR Significa expresar en factores, asípor ejemplo 4 + 2 no es factorización de 6, pero 2. 3
si lo es.
Al proceso de descomposición de un polinomio en el producto de dos o más factores polinómicos, se le
denomina factorización
Cuando se expresa un polinomio, de tal forma que ya no se le peda aplicar ningún método de
factorización, diremos que tenemos su factorización completa.
Existen varios métodos para descomponer un polinomio.Analizaremos algunos de ellos.

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Prof. Marvin Montiel Araya

FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN
Este método es una aplicación inmediata de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a
la suma y la resta.
Consiste en extraer de cada uno de los términos de un polinomio real, la expresión común a todos ellos.
- Esta expresión puede sernumérica, cuando existe un divisor común a cada uno de los coeficientes
numéricos del polinomio.
Ejemplo 1:
4 es divisor de 4,8, 16 por lo que es el factor numérico común de la expresión 4x+ 8y- 16. Por lo que
esta expresión se puede expresar como 4(x+ 2y- 4).
- Esta expresión puede ser literal, cuando existe una o más variables que se repitan en los términos del
polinomio, para este efectose tomará como factor común la o las variables de menor exponente.
Ejemplo2:
x es el factor común de la expresión 3x + 4xy- mx, ya que esta en cada uno de los tres términos del
trinomio, por lo tanto se puede expresar de cómo x (3+4y-m).
- Esta expresión puede ser otro polinomio.
Ejemplo 3:
3(x-4) + m(x-4) + h(x-4), es este caso se expresaría como (x-4) (3+m+h).
Ejemplo 4:
5(x – 7) + h(7 –x) = 5(x – 7) – h(x – 7)= (x – 7)(5- h)
También puede ser una combinación de los anteriores.
Aplicar el método de factor común para expresar como productos los siguientes polinomios
(1)

4x + 4y

(11)

25 a2b3 – 5 ab – 30 a3b2

(2)

3xy-6y

(12)

- 6 y3- 3y 2 – 3y

(3)

28x3 + 35 x2

(13)

a(x – 2)- 3 (2 – x)

(4)

4x3 + 20 x4

(14)

x2 (2x+1) – 3x ( 2x+1)

(5)24xy2 – 27 x2 y

(15)

6 ( x – 4) – a ( 4 – x )

(6)

72t6 + 40t4

(16)

2x (x+6) – 3(x+6)

(7)

28a2 b3 – 44 a4 b2

(17)

4 ( 3x – 2) – 12x(3x – 2 )

(8)

2x3 – 4 x2 +8x

(18)

3x2(2x+3) – x (2x +3)

(9)

3y3 – 6 y2 +9y

(19)

x2 (4 – x) + 3x (4 – x)+(x- 4)

(10)

- 3x2 – 3 xy

(20)

11x2 – 22x – 121

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FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de dos cuadrados se decompone en el producto de la suma por la diferencia de las bases
de esos cuadrados.
Ejemplo 5
x 2 − 4 = ( x + 2)( x − 2)
25 x 2 − 16 = (5 x) 2 − 4 2 = (5 x + 4)(5 x − 4)
Ejemplo 6
x 3 − 25 x = x( x 2 − 25) = x( x + 5)( x − 5)
5 x 2 − 5 = 5( x 2 − 1) = 5( x + 1)( x − 1)
Ejemplo 7
( y− 3)2 − m 2 = (( y − 3) + m)(( y − 3) − m) = ( y − 3 + m)( y − 3 − m)

x 2 − (3 + 2 y ) = ( x + (3 + 2 y ))( x − (3 + 2 y )) = ( x + 3 + 2 y )( x − 3 − 2 y )
2

Ejemplo 8
2
( x + 2) 2 − (3 + 2 y ) = [x + 2 + (3 + 3 y )][
. x + 2 − (3 + 3 y )] = ( x + 2 + 3 + 3 y )( x + 2 − 3 − 3 y ) = ( x + 3 y + 5)( x − 3 y − 1)
Ejemplo 9
x 4 − 16 = ( x 2 + 4)( x 2 − 4)
( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)16 x 4 − 125 = (4 x 2 + 25)(4 x 2 − 25)
(4 x 2 + 25)(2 x + 5)(2 x − 5)

Antes de utilizar cualquier método es necesario determinar si el polinomio tiene factor común.
Ejemplo 10
7 x 3 − 28 x = 7 x( x 2 − 4) = 7 x( x + 2)( x − 2)
La suma de dos cuadrados no es factorable en el sistema real.
Ejemplo 11:
x 2 + 4, no es factorizable
En general, la diferencia de dos número se decompone como...