Fases De Un Proyecto

CONJUNTOS DE NIVEL y sus aplicaciones a la Optimización de La FunciÓn de utilidad del consumidor

Luisa Lucila Lazzari - Andrea Parma
ilazzari@econ.uba.ar - matejuan1@yahoo.com.ar

Facultad de Ciencias Económicas – Universidad de Buenos Aires



Palabras claves: cálculo, aplicaciones, optimización, conjunto de nivel, utilidad.


1- INTRODUCCION
En este trabajo se estudia el conceptode conjuntos de nivel de una función y sus aplicaciones económicas.
En primer lugar se propone la visualización de las gráficas de conjuntos de nivel en el plano y en el espacio, empleando el software Mathematica.
Luego se presentan gráficas de curvas y superficies de nivel relacionadas con algunas funciones económicas, se analizan sus significados y sus características principales.Finalmente se desarrolla el problema de optimización de funciones de utilidad del consumidor en [pic] y [pic]en base a restricciones presupuestarias fijas al determinar el óptimo a partir del punto de tangencia entre curvas o superficies de nivel.

2. CONJUNTOS DE NIVEL DE UNA FUNCIÓN
2.1 Definición
Dada una función [pic] donde [pic]. Se consideran aquellos puntos [pic] para los que [pic] tiene unvalor constante, es decir [pic]. El conjunto [pic]se denomina conjunto de nivel k de la función f y se define [pic].
En [pic][pic] se llama curva de nivel; en [pic] [pic] se denomina superficie de nivel.

2.2. Curvas de nivel

Existen muchas aplicaciones donde se presentan familias de curvas de nivel. Por ejemplo, si [pic] representa la temperatura en [pic], las curvas de nivel de f (curvas detemperatura constante) se llaman isotermas, las isobaras (curvas de nivel para presión atmosférica constante). También en economía se estudian las llamadas curvas de indiferencia (curvas de nivel de utilidad constante), las isocuantas (curvas de nivel de producción constante), isocostos (curvas de nivel de costo constante) e isoingreso (curvas de nivel de ingreso constante).
Geométricamente sedefine las curvas de nivel como las proyecciones sobre el plano [pic] de las intersecciones de la superficie [pic] con planos [pic] paralelos al plano [pic].
Por ejemplo, se consideran las curvas de nivel del paraboloide elíptico [pic] .[pic]Para z=k, [pic]representan circunferencias de centro (0; 0) y radio [pic] con k > 0.

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic]|[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

Utilizando el Mathematica, se realiza el gráfico del paraboloide [pic]interceptado con los planos z = 50 y z = 70.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Figura 1. Secciones del paraboloide

Se observa que los cortes o secciones son circunferencias dediferente radio.
Al proyectar dichas secciones sobre el plano [pic]obtenemos las curvas de nivel de la superficie que se pueden representar con el Mathematica a partir del siguiente comando:
[pic]

[pic]
Figura 2. Curvas de nivel del paraboloide

2.3. Superficies de nivel.

Se considera a continuación la hipersuperficie [pic] interceptada por hiperplanos u=1 y u=6. Se obtienensuperficies de nivel.
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |


Para valores positivos de k, se obtienen hiperboloides elípticos de una hoja.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Figura 3. Superficies de nivel de [pic]para [pic]

Para valores negativos de k, se obtienen hiperboloides elípticos de dos hojas.
[pic]
[pic]
Figura 4.Superficies de nivel de [pic]para [pic]

Para k=0, se obtiene un cono elíptico

[pic]
Figura 5. Superficie de nivel de [pic]para [pic]

Es interesante observar como con el Mathematica se pueden representar superficies de nivel de funciones más complejas como [pic]para [pic]
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic]...