Fenomeno

Solución Segundo Examen de Cálculo III

Curso Vacacional.
Universidad Industrial de Santander sede Socorro
Diciembre 19 de 2007
Profesor: Luís Antonio Bautista.

Estudiante: ____________________________ Código: __________________
Nota: Todos los cálculos efectuados mediante Matlab deben ser indicados mediante una lista de instrucciones en su hoja de respuesta de lo contrario dicho puntotendrá una nota de cero coma cero. Indique siempre como obtuvo sus resultados.

1) La superficie de una montaña satisface la ecuación: [pic] donde (x) y (y) representan las distancias horizontales y (z) representa distancias verticales, todas medidas en kilómetros.
2) Un excursionista se ha quedado sin alimentos y equipo de oxígeno vitales para su subsistencia en el pico mas alto de lamontaña. Para rescatarlo se ha propuesto una expedición de búsqueda la cual por error propuso una trayectoria dada por la ecuación:
[pic]
a) Indique a la comisión de búsqueda en que lugar durante su trayectoria estuvo más cerca del escalador y a que distancia estuvo de él.
b) Determine la ubicación exacta del escalador.
c) Indique al equipo de búsqueda cual será su mayor altura y menoraltura durante su recorrido y en que lugares ocurre esto.

Ubicación del excursionista:

En este lugar las derivadas parciales son nulas. Nos ayudamos visualizando las curvas de nivel.
[x y]=meshgrid(-4:0.1:10,-10:0.1:2);
z=eval(vectorize('3*exp(-0.1*(x-4)^2-0.1*(y+3)^2)+1.8*(exp(-0.3*(x-2)^2-0.2*(y+4)^2))'));
contour(x,y,z);grid
[pic]
A primera vista el pico de la montaña está en(x,y)=(3,-3)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:
[pic]
[pic]; [pic]
En Matlab tenemos:
syms x y
z=3*exp(-0.1*(x-4)^2-0.1*(y+3)^2)+1.8*exp(-0.3*(x-2)^2-0.2*(y+4)^2);
zx=diff(z,x);
zy=diff(z,y);
r=solve(zx,zy);

Se obtiene la siguiente respuesta:
[r.x r.y] = [ 2.7137, -3.5457]
Ahora se calcula la altura del pico mas alto:
x=r.x;y=r.y;h=eval(z) =3.9503
La ubicación exacta del escalador es:Xescalador=[2.7137 -3.5457 3.9503];

Determinación de la distancia mínima al escalador.

Se trata de minimizar la función de distancia hasta el escalador:
[pic][pic]Sujeta a las restricciones:
[pic]
[pic]

Para ello se plantea un sistema de cinco ecuaciones con cinco variables mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange así:
[pic]

Para tener una idea de los puntos masalejados y mas cercanos primero graficamos las curvas de nivel y la trayectoria.
En Matlab tenemos:
[x y]=meshgrid(-4:0.1:10,-10:0.1:2);
z=eval(vectorize('3*exp(-0.1*(x-4)^2-0.1*(y+3)^2)+1.8*(exp(-0.3*(x-2)^2-0.2*(y+4)^2))'));
contour(x,y,z);grid;hold on;trayecto='y^2+0.33*x*y-6.14*y+0.5*x+x^2=24';ezplot(trayecto)

Se obtiene la siguiente gráfica:

[pic]
Aparentemente el punto mas cercano seencuentra en (x,y)=(3,-3) y para ese valor determinamos (Z).
x=3;y=-3;eval(z) = 3.8063

Ahora utilizamos un programa para resolver el problema:

Elaboramos el siguiente programa:

function salida=fun(u)
x=u(1);
y=u(2);
z=u(3);
l=u(4);
m=u(5);e1=1/20000/(100000000*x^2-542740000*x+3554102627+100000000*y^2+709140000*y+100000000*z^2-790060000*z)^(1/2)*(200000000*x-542740000)-l*(3*(-1/5*x+4/5)*exp(-1/10*(x-4)^2-1/10*(y+3)^2)+9/5*(-3/5*x+6/5)*exp(-3/10*(x-2)^2-1/5*(y+4)^2))-m*(33/100*y+1/2+2*x)
e2=1/20000/(100000000*x^2-542740000*x+3554102627+100000000*y^2+709140000*y+100000000*z^2-790060000*z)^(1/2)*(200000000*y+709140000)-l*(3*(-1/5*y-3/5)*exp(-1/10*(x-4)^2-1/10*(y+3)^2)+9/5*(-2/5*y-8/5)*exp(-3/10*(x-2)^2-1/5*(y+4)^2))-m*(2*y+33/100*x-307/50)e3=1/20000/(100000000*x^2-542740000*x+3554102627+100000000*y^2+709140000*y+100000000*z^2-790060000*z)^(1/2)*(200000000*z-790060000)+l
e4=3*exp(-1/10*(x-4)^2-1/10*(y+3)^2)+9/5*exp(-3/10*(x-2)^2-1/5*(y+4)^2)-z
e5=y^2+33/100*x*y-307/50*y+1/2*x+x^2-24
salida=[e1;e2;e3;e4;e5]

Guardamos el programa con el nombre (fun).

Desde la ventana de comandos ejecutamos:
Punto Mas Cercano:
pnear=fsolve(@fun,[3;-3.5;3.8;0;0]) y se...