Fibonacci

Busqueda de Fibonacci
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión comienza con losnúmeros 1 y 1,1 y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Estasucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de lacomputación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias delbrécol romanescu y en el arreglo de un cono.

1)Ejemplo
Ejercicios de optimización - Enunciado 1

Encontrar el máximo de la función: 

f(x)=x(5π−x) en [0,20]
Con error inferior a 1, empleandobúsqueda de Fibonacci.
Respuesta del ejercicio 1
Con este ejemplo se trata de ver la capacidad operativa del método basado en los números de Fibonacci, para encontrar numéricamente el valor extremo deuna función. Resolviendo analíticamente, el máximo de la función resulta en: 

f(x) = 5.π .x – x2 ? → f '(x) = 5.π - 2.x = 0 → x = 5.π /2
Y tenemos : 

f(x) = f(5.π /2) = 61,685
La búsqueda deFibonacci está basada en la sucesión de números enteros del mismo nombre: 



Cuyos primeros términos son : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Para resolver el problema, elprimer paso es establecer el número de iteraciones a realizar: 



Por lo tanto, siguiendo la serie de los números de Fibonacci, deberemos realizar seis iteraciones para las que tenemos: 



Sitomamos ahora: 



y tenemos en cuenta que: 



podemos formar el siguiente cuadro: 

i
ua
ub
uc
ud
f(uc)
f(ud)
1
0
20
7,618
12,380
61,629
41,200
2
0
12,380
4,761...