finciones de varias variables

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES






Contenido
introducción
Funciones de varias variables
Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Derivadas parciales
Máximos y mínimos
Integrales dobles
Bibliografía




































Funciones de varias variables

Una función de valor real, f, de x, y, z,... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de unavariable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia
Funciones lineales 
Una función lineal de los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma
f(x1, x2, ... , xn)= a0 + a1x1 + ... + anxn
donde a0, a1, a2, ..., an son constantes.
Funciones de interacción 
Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj(b constante), obtenemos una función de interacción de la segunda orden.
Funciones de distancia 
La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de los dos variables x y y:
d(x, y) = [(x - a)2 +(y - b)2]1/2.
(Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por
d(x, y) = [x2 + y2]1/2.
La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por
d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.


Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Puntos en espacio tridimensionaltienen coordenadas como montrado en la siguiente figura.

La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz. 
(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz. 
(Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)
La coordenada z de un punto es su alturasobre el plano xy. 
(Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

Gráfica de una función de dos variables 
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) talque z = f(x, y).

Ejemplos
La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio tridimensional.

La gráfica de f(x, y) = x2 - y2 se muestra en la siguiente figura.

Hay muchos más ejemplos en el libro de texto. Si quiere experimentar a hacer gráficas de superficies en su computadora, pruebe el Graficador de superficies o, si se prefiere Excel, el Graficador Excel desuperficies.



Derivadas parciales 

La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes.
En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escribencomo ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay más que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.
Interpretación

Derivadas parciales de orden superior 
Si f está una función de x, y, y posiblemente otras variables, entonces

En forma parecida,


La derivada parcial del segundo...