fisica

3.

FLUJO ELÉCTRICO

PROBLEMA 18. Determinar el flujo que atraviesa una superficie cilíndrica de radio R y
largo L , si el campo eléctrico es uniforme y su dirección es perpendicular al eje del cilindro.

SOLUCIÓN
r
dA
r
E

r
E

r
E

VISTA SUPERIOR

La vista superior es representativa de lo que sucede en el manto de la superficie cilíndrica.
Las bases del cilindro son áreasplanas representadas por un vector que es perpendicular
al campo eléctrico y, en consecuencia, no contribuye a la integral
través de las bases es cero.

Ñ
∫

r
r
E g d A ; es decir, el flujo a

Para el manto :

φ =

∫

r r
E gd A =
M

∫

∫

2π

E g Rdθ L c o sθ
0

2π

φ = ERL cosθ d θ

= ERL ( sen 2π − s e n 0 ) = 0 .

0

Luego, φ a través del manto es 0; enconsecuencia el flujo total a través de la superficie
cilíndrica es cero.
Otra manera de hacer lo anterior, es aplicando la ley de Gauss :

r r
q
E g d A = φ = neta ,
ε0
S

Ñ
∫

y puesto que no hay carga en el interior de la superficie, entonces :

φ total = 0 .

33

34

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 19. Calcular el flujo eléctrico φ E que atraviesa lasuperficie de un hemisferio de

r

radio R , en un campo eléctrico E uniforme y paralelo al eje del hemisferio.

SOLUCIÓN

El hemisferio es una superficie abierta ( SH ) ; con el objeto de tener una superficie cerrada se agrega la superficie plana Sp .
La superficie cerrada no encierra carga; luego :

φ =

Ñ
∫

r
r
E g dA =

Sp +SH

por lo tanto :

∫

r
r
E g dA = −

∫Sp

∫

r
r
E g dA = 0 ,

Sp

SH

r
r
E g dA ,

Sp

SH

y

∫

∫

r
r
E g dA +

r
r
E g dA = −

∫

∫

E d A = − E d A = − E A = − Eπ R2 .

Sp

Sp

Entonces, el flujo a través del hemisferio es :

φH =

∫

r
r
E g dA = E π R 2 .

SH

Nota: obtenga el resultado anterior integrando directamente sobre la superficie del hemisferio.

3. FlujoEléctrico

35

PROBLEMA 20. Determinar el flujo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio R si el eje
de simetría del hemisferio forma un ángulo α con la dirección de un campo eléctrico uniforme.

SOLUCIÓN

Usando las ideas del problema anterior, y puesto que la superficie cerrada no encierra
carga :

∫

r
r
r
r
E g dA = − E g dA

∫

SH

Sp

Aunque la integral sobreSH puede ser difícil de calcular, su resultado se obtiene fácilmente
usando la igualdad anterior cuyo segundo miembro es de fácil solución. En efecto :

∫

Sp

r
r
E g dA =

∫ E dA cos ( π − α ) = − E cos α ∫ dA = − E cos α g π R ,
2

Sp

luego :

φ H = E π R 2 c o sα .

Sp

36

Electromagnetismo Problemas y Soluciones

PROBLEMA 21. Determinar el flujo del campoeléctrico a través de las caras de un cubo de
arista a , si se coloca una carga Q en las posiciones que se indica en la figura.

Q
Q
Q
Q

(a)

(b)

(c)

(d)

SOLUCIÓN
Caso (a): De acuerdo a la ley de Gauss, el flujo a través de una
superficie cerrada, cualquiera que sea su forma, es igual a

qn
,
ε0

donde qn es la carga neta encerrada por la superficie.
En este caso :

Q

φa =Q .
ε0

Caso (b): En este caso Q es una carga puntual ubicada justo en el
vértice del cubo. Considerando una superficie gaussiana esférica con
centro en la carga, podemos apreciar que el cubo contiene a un octante de la esfera.
El flujo a través de la superficie esférica es φ a =

Q
; por lo tanto el
ε0

flujo a través del octante de esfera, que es igual al flujo a través de las carasdel cubo, es :

φb =

φa
Q
=
.
8
8ε0

Observe que este es un caso de mucha simetría. El flujo a través de las caras del cubo que
convergen en el vértice en que se encuentra la carga es cero, y el flujo a través del octante se
reparte en las 3 caras restantes en partes iguales, es decir, el flujo a través de cada una de las
caras restantes es :

1gφ = 1 g Q .
3 b 2 4 ε0

3....