fisica

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Campo Magnético Estacionario

Campos Estacionarios
Los campos electromagnéticos estacionarios aparecen cuando no hay
variaciones temporales, d/dt=0, pero se permite la existencia de corrientes.
Las corrientes consideradas en estas condiciones reciben el nombre de
corrientes estacionarias y deben cumplir la condición de nomodificar las
distribuciones de carga existentes.
Se puede expresar matemáticamente esta condición partiendo de la
ecuación de continuidad:

v ∂ρ
∇⋅ J + = 0
∂t

∂
=0
∂t

v
∇⋅ J = 0

Las corrientes estacionarias tienen divergencia nula.
Ya se vio en el capítulo anterior que no pueden tener su origen en
campos electrostáticos o culombianos.

16/01/2008

EyM 5-1

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Campo Magnético Estacionario

Campos Estacionarios
Con las condiciones mencionadas las ecuaciones de Maxwell quedan :
r r
r r
∂B(r , t )
r r
∇ × E (r , t ) = −
∇ × E (r ) = 0
∂t
r r v
r r
r r
rr
∇ × H (r ) = J
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
r
∂t
∇⋅ D = ρ
r
r
∇⋅ D = ρ
∇⋅ B = 0
∂
r
r
r
=0
∇⋅ B = 0
D = εE
∂t
r
r
r
r
D = εE
B = µH
r
r
B = µHSe puede apreciar la existencia de dos sistemas de ecuaciones independientes:
El del campo
Eléctrico
estacionario:

r r
∇ × E (r ) = 0
r
∇⋅ D = ρ
r
r
D = εE

Y el del campo
Magnético estacionario
(magnetostático):

r r v
∇ × H (r ) = J
r
∇⋅ B = 0
r
r
B = µH

Campo Magnetostático
• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático,
puesto que el campo eléctricoestacionario se puede
estudiar independientemente, como ya se ha hecho.
• Conviene recordar que en la naturaleza no existen
situaciones estacionarias, al igual que no existían
situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en
que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente
lenta como para que la aproximación de despreciar las
variaciones con respecto al tiempo sea suficientepara
conducir a buenos resultados.

r r
v
∇ × H (r ) = J – La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.
r
∇⋅B = 0

r
r
B = µH

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– La ecuación de la divergencia postula que las líneas de
campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que
no existen fuentes escalares (cargas magnéticas aisladas).
– La ecuación de estado introduce el efecto de losmedios.

EyM 5-2

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Campo Magnético Estacionario

El Potencial Vector Magnetoestático
• El que la divergencia de un rotacional sea siempre nula y que la
divergencia del campo magnético sea siempre nula permite
suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial
vector:
r

⎫
∇⋅B = 0
⎪
r
⎬⇒
∇ ⋅ ∇ × A = 0⎪
⎭

(

)

r
r
B = ∇× A

• Estadefinición del potencial vector deja un gran margen de libertad que
será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.
• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal,
homogéneo e isótropo:

r

r

(

r

r

r

)

r

µJ = ∇ × µH = ∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
• Utilizando el grado de libertad de que se dispone se puede escoger:
• con ello se obtiene:r
∇⋅ A = 0

r
r
∆A = − µJ

El Potencial Vector Magnetoestático
• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación del
potencial vector se puede descomponer en ecuaciones similares
a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de
un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:

r
r
∆A = − µJ

∆φ = −

ρ
1
v
⇒ φ (r ) =
ε
4πε

∫∫∫
V

r
r r
r − r′ρ (r ′)dV ′

r
⎧
J x (r ′)dV ′ ⎫
µ
∆Ax = − µJ x ⇒ Ax =
r r
⎪
4π ∫∫∫ r − r ′ ⎪
V
⎪
⎪
r
r
r ⎪
J y (r ′)dV ′ ⎪
µ
⎪
⎪
∆A = − µJ ⇒ ⎨∆Ay = − µJ y ⇒ Ay =
r r
∫∫∫ r − r ′ ⎬
4π V
⎪
⎪
r
⎪
µ
J z (r ′)dV ′ ⎪
⎪∆Az = − µJ z ⇒ Az =
r r ⎪
4π ∫∫∫ r − r ′ ⎪
⎪
V
⎭
⎩

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r µ
A=
4π

r r
J (r ′)dV ′
r r
∫∫∫ r − r ′
V

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