fisica

CATEDRA DE ESTRUCTURAS III

FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
ÍNDICE

1

INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 2

2

FLEXIBILIDADES ................................................................................................. 2

3

RIGIDECES.......................................................................................................... 5

4

CÁLCULO DE FLEXIBILIDADES Y RIGIDECES ................................................. 7

1 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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1

FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

INTRODUCCIÓN

En este capitulo estudiaremos un conjunto de importantes conceptos que
utilizaremos altratar los métodos para la resolución de estructuras indeterminadas.
Las estructuras tienen propiedades relacionadas con su resistencia y
deformabilidad, que le son propias y que las caracterizan. Éstas se emplean en el
análisis estructural y tienen que ver, básicamente, con la función que relaciona las
causas y los efectos. Las estructuras que trataremos aquí tienen un comportamiento
lineal.
22.1

FLEXIBILIDADES
Definición de flexibilidad
fig. 1

1

2

3

Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres direcciones
como las indicadas en la fig 1, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor unitario.
Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los
desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga (fig. 2).P1=1

f11

f21

f31

fig. 2
P2=1

f12

f22

f32
P3=1

f13

f23

f33

Los desplazamientos originados en cada dirección los denominaremos flexibilidades y
que indicaremos fij, donde i indica la dirección donde se produce y j donde actúa la
causa unitaria que lo produce. De esta manera la definición de estos desplazamientos
sería:
La flexibilidad fij es el efectocinemático en i producido por una causa estática
unitaria que actúa en j.
Basándonos en la anterior definición de flexibilidades y aplicando el principio de
superposición, los desplazamientos totales Ui que se producirán cuando actúan cargas
Pi (fig 3) valen:
2 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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P1

fig. 3

P2

U1P3
U3

U2

U1 = f11P1 + f12P2 + f13P3
U2 = f21P1 + f22P2 + f23P3
U3 = f31P1 + f32P2 + f33P3
Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos:
U1
f11
U2 = f21

f12
f22

f13 P1
f23 * P2

U3

f32

f33

f31

U = FP

P3

(A)

Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que actúan en determinadas
direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismasdirecciones. Esta relación
lineal se establece a través de matriz F, que es independiente de las cargas P y sólo
depende de la estructura y de las direcciones elegidas.
La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está integrada por las flexibilidades fij
cuya definición ya realizáramos anteriormente. Estas flexibilidades tienen las siguientes
propiedades:
fii: flexibilidad directa: Estosefectos son siempre positivos, dado que son los
desplazamientos correspondientes con la causa que los
producen
fij: flexibilidad cruzada: Estas tienen la propiedad, de acuerdo a la ley de Maxwell, de
ser igual a fji. Por esta razón la matriz F es simétrica.
T

F=F
2.2

Primer Teorema de Castigliano

Teniendo en cuenta que la ley de Clapeyron, la energía interna de deformación vale:

Ei =1 T
P U
2

y reemplazando en ésta la ecuación (A), tenemos la expresión de la energía en función
de las flexibilidades.
Ei =

1 T
P FP
2

Si se realiza el desarrollando esta ecuación matricial tenemos:

1
Ei = P1 P2
2

f11
P3 * f21
f31

f12
f22
f32

f13 P1
f23 * P2
f33 P3

3 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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