fisica

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

Integral definida

Semana 05

LA INTEGRAL DEFINIDA
Suponga que un agente de bienes y raíces desea evaluar una parcela sin construir, que tiene 100 pies
de ancho y que está limitada por calles en tres de sus lados y por un arrollo en el cuarto lado. El
agente determina que si establece un sistema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 1, el
arroyose puede escribir por medio de las curvas y  x3  1 , donde x e y están medidas en cientos
de pies. Si el área de la parcela es A pies cuadrados y el agente estima que su tierra vale $ 12 por pie
cuadrado, entonces el valor total de la parcela es de 12A dólares. Si la parcela fuera de forma
rectangular o triangular, e incluso trapezoidal, se podría determinar su área A sustituyendo en unafórmula bien conocida; sin embargo, la frontera superior de la parcela es curva, por tanto ¿cómo
puede el agente determinar el área y después determinar el valor total de parcela?
y

(100pies)

y  x3 1

Arroyo

1

x (100 pies)
0

1

Figura 1: Determinación del valor de la tierra encontrando el área bajo la curva.

El objetivo de esta parte es demostrar que se puede expresar el áreabajo la curva (por ejemplo, el
área A del ejemplo de bienes y raíces) como el límite de una suma de términos, que recibe el
nombre de integral definida. Más adelante, se introducirá un resultado conocido como el teorema
fundamental de cálculo que permite calcular integrales indefinidas y después su áreas y otras
cantidades empleando los métodos de la integración indefinida (antiderivada) quese estudiaron en
el tema anterior.

ÁREA BAJO UNA CURVA
Sea f una función no negativa (f  0) sobre [a; b]. Definimos la región:
S = {(x; y) / x  [a; b], y  [0; f(x)]} denominada la región de f desde “a” hasta “b”.

Interpretación Geométrica De Integral Definida:
Partamos subdividiendo S en n franjas S1 , S 2 ….. S n de igual ancho como en la figura

El ancho del intervalo [a,b] esb-a, por lo tanto el ancho de cada una de las n franjas es

x 

ba
n

Estas franjas dividen al intervalo a, b en n subintervalos

x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 ,, xn1 , xn 
Donde x0  a y x n  b . Los puntos finales del lado derecho de los subintervalos son:

x1  a  x,

x2  a  2x,

x3  a  3x, 

Aproximemos la i franja S i por un rectángulo de ancho x yaltura f ( xi ) , el cual es el valor de f
en el punto final del lado derecho.

Entonces el área del “i” rectángulo es f ( xi )x . Lo que creemos intuitivamente, como el área de S
es la suma de las áreas de estos rectángulos, el cual es

Rn  f ( x1 )x  f ( x2 )x 

 f ( xn )x

Las siguientes figuran muestran esta aproximación para n=2, 4, 8 y 12. Note que esta aproximación
parecellegar a ser mejor y cada vez mejor conforme el número de franjas se incremente es decir,
cuando n   .

Por consiguiente definimos el área de la región S en la siguiente forma:

Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la
función continua f es el límite de la suma de las áreas aproximadamente
rectangulares:

A  lim Rn  lim  f ( x1 )x  f ( x2 )x
n 

n 

 f ( xn )x 

n

 lim  f ( xi )x
n 

i 1

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
Si f está definida en el intervalo cerrado a, b y existe el límite
n

lim Rn  lim  f ( xi )x
n 

n 

i 1

Entonces f es integrable en a, b y el límite se denota
n

b

i 1

a

lim  f ( xi )x   f ( x)dx
n 

Este límite se llama la integral definidade f entre a y b.
Donde:
f (x) : Función integrable
a, b: límites de integración



: Símbolo de integración, x: variable de integración

TEOREMA:
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN
Si f es continúa en el intervalo cerrado a, b , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje
x y las rectas verticales x=a y x=b viene dado por:
b

Área   f(x) dx
a...