fisica

Tema 5.-

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIO VECTORIAL
BASE  Y  DIMENSIÓN  DE  UN 
ESPACIO VECTORIAL
Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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Aunque  históricamente  el  primer  trabajo  de  Álgebra  Lineal  consistió  en 
resolver  sistemas  de    m    ecuaciones  lineales  con    n    incógnitas, 
comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorial.
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros 
(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:

Pero, ¿qué es un vector libre del plano?
Definimos
como el conjunto de vectores
con
.
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un
vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,
velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector
no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y
“dirección”.
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Tanto  en  Física  como  en  Ingeniería 
un  vector  se  caracteriza  por  dos 
magnitudes  (longitud  y  dirección)  y 
se representa  por  un  segmento  recto 
dirigido. Un vector en el plano puede 
ubicarse  en  diferentes  lugares.  Sin 
embargo,  con  independencia  de 
dónde  esté  situado,  si  la  longitud  y 
dirección  no  varían  se  trata  del 
mismo vector.
El conjunto de los vectores libres del plano  (         ) es sólo un ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden sumarse 
entre  sí  y  multiplicarse  por  números  reales,  y  que  además  satisfacen 
unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano 
(o  el  de  los  vectores  libres  del  espacio)  es  importante  porque  su 
representación  geométrica  ayuda  a  entender  la  definición  general  de 
vector.
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3Algunos ejemplos que podemos mencionar son:
 los propios números reales, 
 los números complejos,
 los vectores en el plano,
 los vectores en el espacio,
 los polinomios de grado menor o igual que  n,
 las funciones reales de variable real con dominio   D,
 las funciones continuas en un intervalo,
 las funciones derivables en un punto,
 las funciones integrables en un intervalo, .....................................
Un vector puede ser un número, una n­tupla, un polinomio, una función 
continua, etc.

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También  hay  magnitudes  físicas  de  tipo  vectorial  con  las  mismas 
propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
Cuando  en  varios  conjuntos  distintos  aparecen  estructuras  similares,  es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque 
este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto 
de los espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran ventaja. 
La abstracción resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que 
ahora  pueden  demostrarse  resultados  generales  cuya  validez  afecta  a 
todos  los  espacios  vectoriales.  Es  decir,  una vez  que  se  establecen  los 
hechos  sobre  los espacios vectoriales  en  general,  se  pueden aplicar estos 
hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría que probar 
cada  hecho  una  y  otra  vez,  para  cada  nuevo  espacio  vectorial  que  nos 
encontráramos (y existen un sin fin de ellos).

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En  este  curso, básicamente  trabajaremos  con  cuatro  espacios 
vectoriales.
En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos 
con los espacios vectoriales siguientes:
            , normalmente n=3 o n=4.
            , normalmente n=2 o n=3.
En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de    m 
  filas y  n  columnas, que denotamos:...