Fisica

PRÁCTICA

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Solución Numérica de la Ecuación de Schrodinger para un átomo de Hidrógeno.

1.- DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.

El átomo de hidrógeno es un sistema de dos partículas, en el que el núcleo y un electrón interaccionan según la ley de Coulomb. Dicho átomo puede ser descrito usando una ecuación en derivadas parciales en tres dimensiones, la ecuación de Schrodinger:

(1)

donde hes la constante de Plank dividida por √2π, Ψ es la función de ondas del sistema , V(r) es la energía potencial debido a la atracción de Coulomb entre el electrón y el protón y

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PROYECTO DOCENTE: Dr. Jesús Vigo-Aguiar

es la masa reducida del sistema que suele considerarse aproximadamente igual a la masa del electrón. Por último Enl es la energía de un estado con número cuánticoradial n y un número cuántico del momento angular l . Los valores de n son números naturales mayores que cero que indican los niveles de energía en los que podemos localizar un electrón mientras que la variación de l esta condicionada por la de n del siguiente modo l = 0,1,....,n-1. Los valores de l están relacionados con los posibles momentos angulares orbitales del electrón

El potencial V(r)posee una simetría esférica, o lo que es lo mismo la ecuación es más sencilla de resolver si utilizamos coordenadas esféricas en vez de cartesianas. Tradicionalmente se escribe la función de onda de la forma:
donde Ylm son los armónicos esféricos y unl (r)= r Rnl (r) es la función de onda radial. (2)


Ejercicio 1: Escribir el operador de Laplace en coordenadas esféricas.

Ejercicio 2: Teniendoen cuenta la expresión obtenida en el ejercicio anterior y que las funciones esféricas verifican la ecuación diferencial:  1  1 ∂ ∂ ∂2 ( sen(θ ) ) + + l (l + 1) Ylm = 0  2 2 ∂ϑ sen (ϑ ) ∂ ϕ  sen(ϑ ) ∂ϑ 

ϑ ∈ [0, π ] 

ϕ ∈ [0,2π ] 

Calcular la ecuación diferencial que verifica la función de onda radial unl (r).

Solución:




(3)


CUADERNO DE PRACTICAS

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Tomamosen dicha ecuación unidades naturales, es decir, hacemos ! =1 . En dichas unidades la masa del electrón es aproximadamente (en electro-voltios):

Por tanto, en unidades naturales, la ecuación que obtenemos es:




(4)


Donde el potencial de Coulomb viene dado por

donde α es la constante de estructura fina también conocida por “fine structure constant”. La ecuación (4) es conocida comoecuación radial de Schödinger para el átomo de Hidrogeno.

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PROYECTO DOCENTE: Dr. Jesús Vigo-Aguiar

2.- SOLUCIÓN NUMÉRICA: MÉTODOS DE TAYLOR Y EULER.

Antes de solucionar la ecuación numéricamente debemos conocer las condiciones de frontera. En r =0 podemos decir que:

unl(0)=0



(5)


puesto que Rnl(0) toma valores finitos. Para valores grandes del radio, queremos que la ,solución tenga sentido físico, lo que se traduce en que para
unl(r) es finito
(6)


Estamos pues ante una ecuación diferencial de segundo orden donde no aparece la derivada, además es diferente a las que estamos acostumbrados, puesto que no es un problema de valor inicial. Para resolver ecuaciones de segundo orden, existen dos tipos de posibilidades, o bien transformarlas en sistemas deecuaciones de primer orden y usar los métodos que conocemos, o bien integrarlas directamente por métodos especiales los cuales están fuera del objetivo de nuestro curso. El ejercicio 3 es lo que sería el análogo al método de Euler pero para ecuaciones diferenciales de segundo orden. Al igual que existe este análogo al método de Euler, existen también métodos Runge-Kutta y multipaso para este tipo deecuaciones.

Para hacer los códigos vamos a trabajar con un problema test, vamos a computar el caso n=1 y l=0. En dicho caso se conoce la energía E10 = --13.6 x 10-3keV . Su valor absoluto es la energía mínima necesaria para desprender el electrón del átomo de hidrógeno, y se la conoce como energía ionizante. Además, para este caso particular las funciones de onda pueden hallarse analíticamente...