Fisico

Revista Colombiana de Física, Vol. 42, No. 2 de 2010.

Operadores de Creación y Aniquilación de Estados Cuánticos Radiales en Átomos Hidrogenoides
Creation and Annihilation Operators of Radial Quantum States for the Hydrogen Atom
R. Carrillo M. * a, R. Álvarez B.a
a

Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Popular del Cesar, Valledupar, Colombia. Recibido 31.03.10; Aceptado 29.11.10;Publicado en línea 17.01.11.

Resumen
Utilizando las identidades de Laguerre, se construyen los operadores de creación y aniquilación de estados cuánticos radiales asociados con las funciones de onda de átomos hidrogenoides. Además se encuentran las relaciones de conmutación y anticonmutación que cumplen estos operadores. Introduciendo una variación de fase global la cual deja invariante elhamiltoniano del sistema se encuentra el álgebra de Lie que cumplen dichos operadores. Se observa que esta álgebra es parecida a la del grupo de rotaciones del momento angular, pero en lugar de cumplir el álgebra del grupo SU(2) cumplen con el álgebra del grupo de simetría seudo ortogonal SU(1,1). La energía del sistema aparece automáticamente en el proceso de construcción de los operadores escalera,creación y aniquilación. Palabras clave: Operadores de creación y aniquilación, Álgebra de Lie, Grupo SU(1,1), Estados radiales.

Abstract
Employing Lagurre identities, raising and lowering operators are constructed of quantum radial states associated with the wave functions of hydrogen-like atoms. In addition, the commutation and anticommutation relations which these operators fulfill are found.Introducing a global phase variation that leaves invariant the Hamiltonian of the system, the Lie algebra is found, which these operators follow. It is observed that this algebra is similar to that of the rotation group of the angular momentum, but instead of following the SU(2) group algebra they follow the algebra of pseudo-orthogonal symmetric groups SU(1,1).The energy of the system appearsautomatically in the construction process of ladder, creation and annihilation operators. Keywords: Creation and annihilation operators, Lie algebra, Group SU(1,1), Radial states. PACS: 02.20-a; 02.20.Sv; 02.30.Vv. © 2010 Revista Colombiana de Física. Todos los derechos reservados.

1. Introducción Una de las primeras formas conocidas para solucionar el átomo de hidrogeno fue realizada por W.Pauli [1], quien utilizó el vector de Kepler-Lenz y combinando con la ecuación de Heisenberg encontró la energía del sistema y los respectivos estados cuánticos. Hoy es común para solucionar el átomo de hidrogeno, hacerlo utilizando la
* roscarrillom@gmail.com

ecuación de Schrödinger y el método de series; acotando para los enteros 1, 2, 3,…, n se obtienen los estados radiales y su respectivaenergía. En este artículo construimos un método alterno para encontrar los estados cuánticos radiales y su energía. Siguiendo la misma metodología que se utiliza para construir los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico [2], hemos construido un par de operadores esca-

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lera para encontrar estados cuánticos radiales del hidrógeno o tipohidrogenoide; para ello se utilizaron las identidades de Laguerre. Adicionalmente aprovechando la invariancia bajo una fase global introducimos un parámetro compacto ( η ) como lo hace R.P. Martinez y Romero [3], en la fase de los estados cuánticos correspondiente a un operador A3 y con los operadores A+, A- construimos dos operadores adicionales A1 y A2. Se demuestra que este conjunto de operadorescumplen con el álgebra de Lie, pues con ellos se puede construir también el operador de Casimir, de forma parecida a como se hace con el momento angular convencional y cuyos autovalores son los mismos del momento angular l (l + 1) . Se demuestra que las reglas de conmutación y anticonmutación que cumplen estos operadores están en completa concordancia con esta álgebra Lie, y realizan la...