Formas Cerradas

En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuantos más intervalos se divida la función más precisa será el resultado.
Este método es eficiente si se conocenlos valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Para la integración numérica de  utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo  en  intervalos iguales. Así se obtienen  puntos donde se evaluará la función:



Si  y  sedenominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:


Donde:


Es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que




Esta función se expresa de la siguiente forma


Donde los"pesos" wi están definidos por


Regla del trapecio
La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

Y el error es:

Siendo  un número entre a y b.










Además de aplicar la regla trapezoidal, con segmentos cada vez más finos,otra manera de obtener una estimación más exacta a la integral, es la de usar binomios de orden superior para conectar los puntos; por ejemplo si hay un punto extra entre f(A) y f(B) entonces se puede conectar los tres puntos, si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(A) y f(B), entonces los cuatro se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

Regla de Simpson

La regla deSimpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

Y el error es:

Siendo  un número entre a y b.






Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.
.
Y el error es:

Siendo  un número entre a y b.











Ejemplo de regla trapezoidal
Primeramente para dar solución por este método, se nos proporciona una integral con límites. La integral se resuelve evaluando cada uno de sus límites con el fin de obtener el valor verdaderoal cual se aproximara el método.
= – = 1
La h representa la cantidad agregada en cada intervalo.
h =
Para obtener el número de intervalos, se realiza la operación siguiente:
N = (Limite superior – Limite inferior) / h
N = ( – 0)/ = 4 (Intervalos)
Posterior mente se procede a completar la siguiente tabla.
N
X
F(x)
0
0
0
1

0.3826
2

0.7071
3

0.9238
4

1

Lacolumna de N, es la columna de intervalos.
La columna de X, es la columna que comienza desde el límite inferior y se le va sumando la h en cada intervalo.
La columna de F(x), es la columna que se obtiene al sustituir cada valor de x, en la función original, que en este caso es .

Teniendo completada la tabla, se utiliza cada valor de F(x), para sustituirlo en la formula siguiente:
I = )/ 2 [0+ 2(0.3826) + 2(0.7071) + 2(0.9238) + 1]
I = 0.987
El primer y último valor de la tabla se multiplica por 1, mientras que los demás por 2.
Ahora bien, ya teniendo el valor de I, se realiza la siguiente operación para calcular el error aproximado con el que se está trabajando el método.

Ev =













Ejemplo de regla de Simpson 1/3
Primeramente para dar solución por...