formas de jordan

LA FORMA DE JORDAN
11 de diciembre de 2006

1.

Ideas preliminares

o
Definici´n Sea A n × n y S un subespacio de Rn (´ Cn ). Decimos que S es invariante
o
por A si,
A u ∈ S,
∀u ∈ S.
Ejemplo. Si λ es un valor propio de A, S(λ) := {u ∈ Rn | A u = λ u} es invariante por
A.
Definici´n Sea A una matriz n × n. Si Rn = S ⊕ T , con S y T invariantes por A,
o
decimos que Rn = S ⊕ T es unadescomposici´n invariante por A. La misma definici´n
o
o
se extiende a
Rn = S1 ⊕ . . . ⊕ Sk
con Sj invariante por A para todo j.
Ejemplo. Si A es diagonalizable y λ1 , . . . , λk son sus valores propios, entonces
Rn = S(λ1 ) ⊕ . . . ⊕ S(λk )
es una descomposici´n invariante por A.
o
Aplicaci´n. Si Rn = S ⊕ T es una descomposici´n invariante por A, consideramos una
o
o
n
base de Rconstruida de la forma
s1 , . . . , s , t +1 , . . . , tn
base de S base de T
y




P =  s1 . . . s

entonces
P −1 A P =

A×
0

1

t +1 . . . tn 

0
An− ×n−

Las descomposiciones invariantes producen matrices diagonales por bloques. N´tese
o
que si


A1


A2


−1
P AP = 

..


.
Ak
con Aj cuadrada para todo j, entonces: (a) la partici´ncorrespondiente de columnas de
o
P genera una descomposici´n invariante en k subespacios; (b) el polinomio caracter´
o
ıstico
de A es el producto de los polinomios caracter´
ısticos de las matrices Aj .
Objetivo. En un primer paso, el objetivo de llegar a una forma can´nica de Jordan es
o
lograr una transformaci´n P tal que
o


A1


A2


−1
P AP = 

..


.
Ak
donde elpolinomio caracter´
ıstico de cada Aj contiene una unica ra´ distinta de la de los
´
ız,
dem´s bloques. Por tanto, si el polinomio caracter´
a
ıstico de A es
(x − λ1 )m(λ1 ) (x − λ2 )m(λ2 ) . . . (x − λk )m(λk )
el bloque Aj tendr´ como polinomio caracter´
a
ıstico
(x − λj )m(λj ) .
As´ estamos realizando una descomposici´n invariante por A
ı,
o
Cn = E1 ⊕ E2 ⊕ . . . ⊕ Ek
donde dimEj = m(λj ).

2.

N´ cleos iterados
u

Definici´n Sea A una matriz n × n y λ un valor propio de A. Consideramos los subeso
pacios
Ej (λ) := N ( (A − λ I)j ),
j ≥ 1,
a los que llamamos n´cleos iterados. Denotamos E0 (λ) = N ( I ) = 0.
u
Propiedades elementales.
(1) E1 (λ) = S(λ).

2

(2) Ej (λ) ⊆ Ej+1 (λ) para todo j.
Dem. Es consecuencia inmediata de que
(A − λ I)j u = 0

(A− λ I)j+1 u = 0.

=⇒

(3) Si E (λ) = E +1 (λ), entonces E +1 (λ) = E +2 (λ). En consecuencia
E (λ) = E +1 (λ) = E +2 (λ) = . . . .
Dem. Se deduce de la siguiente cadena de implicaciones
(A − λ I) +2 u = 0

=⇒
=⇒

v := (A − λ I)u ∈ E +1 (λ) = E (λ)
(A − λ I) +1 u = (A − λ I) v = 0,

luego E +2 (λ) ⊆ E +1 (λ) ⊆ E +2 (λ).
(4) Los subespacios Ej (λ) son invariantes por A.
Dem. Notemosque si u ∈ Ej (λ), entonces
(A − λ I)j u = 0

(∗)

0 = A (A − λ I)j u = (A − λ I)j A u
Au ∈ Ej (λ).

=⇒
=⇒

Para ver (*) basta notar que
j
j

(−λ)j−i

(A − λ I) =
i=0

j
Ai ,
i

luego A (A − λ I)j = (A − λ I)j A.
Propiedades no tan elementales.
(5) Para todo j ≥ 1
dim Ej+1 (λ) − dim Ej (λ) ≤ dim Ej (λ) − dim Ej−1 (λ).
(6) Sean λ1 , . . . , λk los valores propios de A.Sean j1 , . . . , jk ≥ 1. Entonces la siguiente
suma de subespacios es directa:
Ej1 (λ1 ) ⊕ Ej2 (λ2 ) ⊕ . . . ⊕ Ejk (λk ).
(7) La dimensi´n m´xima de los n´cleos iterados es la multiplicidad del valor propio,
o
a
u
esto es, para cada λ, existe tal que
E (λ) = E +1 (λ),
3

dim E (λ) = m(λ).

Sobre las dimensiones de los n´ cleos iterados. Sean
u
nj := dim Ej (λ) = dim N ( (A − λ I)j),

j≥0

(n´tese que n0 = 0). Entonces, las propiedades anteriores implican que esta sucesi´n de
o
o
enteros cumple las tres siguientes propiedades:
(1)
(2)
(3)

0 = n0 < n1 < . . . < n = n +1 = . . . ,
n − n −1 ≤ n −1 − n −2 ≤ . . . ≤ n2 − n1 ≤ n1 − n0 = n1
n = m(λ).

La sucesi´n de n´cleos iterados queda entonces:
o
u
dim :

E0 (λ) ⊂ E1 (λ) ⊂ E2 (λ) ⊂ . . . ⊂ E (λ) = E +1...