Formula polar

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La forma polar
Podemos asignarle a cada número complejo Z=a+bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las x, queserá denotado por θ. Ver la figura:

Nota: El ángulo θ se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes.De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, sedemuestra que la longitud de este radio vector es a2+ b2 igual al módulo del complejo Z. Esto es

Usando conocimientos de trigonometría en el triángulo anterior, se demuestran las relaciones.
a= Zcosθb= Zsinθ

Conocidas como fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas. Cualquier ángulo α, tal que sinα= sinθ y cosα= cosθ, se llama una amplitud o argumento para el complejo Z. Sabemospor trigonometría, que dos argumentos cualquiera de Z difieren en 2π. El argumento θ, tal que -π ≤ θ ≤ π, se llama amplitud o argumento principal de Z. Está claro que si conocemos el argumentoprincipal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas, de acuerdo a las fórmulas anteriores.

Se tiene entoncesla representación de Z en forma Polar

Z= Zcosθ+ i sinθ

Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de Z=a+bi, entonces
Z y θ se calculan de acuerdo a las fórmulas

Z= a2+ b2θ= arctanba

Llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares.

Ejemplo

1. Un número complejo en el primer cuadrante. Hallar la forma polar del complejo Z=2+2i, y dar surepresentación geométrica en el plano.

Solución.

En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo.

Z= 22+ 22= 8=22

Para calcular el ángulo.

θ=arctan22=arctan1=45°...
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