Formulario mecánica teórica

FORMULA RI DE M ECÀNICA TEÒRICA
Víctor García Carrasco

L = T −U Equació de Lagrange: d ⎛ ∂L ⎞ ∂L = Qi on ⎜ ⎟− ∂r dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi Qi = ∑ Fi( NC ) i ∂qi i

FORMALISME LAGRANGIÀ

En l’oscil·ladorharmònic:

q=

p = 2mα cos (ω ( β + t ) )

pi =

∂L ∂q j

pi =

∂L ∂qi

L′ = L + f ( q , t )

L ≠ L ( qi ) qi coord. ciclica si Pi = cnt ∂L =0 ∂qi

2α sin ⎡ω ( β + t ) ⎤ ⎣ ⎦ mω 2 ⎛q ⎞ 1 β = arctan ⎜ mω 0 ⎟ ω p0 ⎠ ⎝

SÒLID RÍGID Moments per distribucions de massa: I = ij Moments per masses puntuals: I = ij

⎡ ∫ ρ ( r ) ⎢δ ∑ x ⎣
V ij

FORMALISME HAMILTONIÀ
i

H ( qi ,pi , t ) = ∑ qi pi − L ( qi , qi , t )

∑ mα ⎢δ ∑ xα α ⎣
ij k

⎡

2 ,k

⎤ − xi x j ⎥ dV k ⎦ ⎤ − xα ,i xα , j ⎥ ⎦
2 k

Eq. Canòniques de Hamilton: q = ∂H i

∂pi

pi = −

∂H ∂qi

dH∂L ∂H =− = dt ∂t ∂t

q ≠ q (t ) ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ H = T +U = E U ≠ U ( q )⎪ ⎭
TRANSFORMACIONS CANÒNIQUES Condicions de canonicitat per parcials:

Equacions per sòlids sense forces aplicades: (Euler enabsència de forces externes)

I1ω1 = ω2ω3 ( I 2 − I 3 ) I 2ω2 = ω3ω1 ( I 3 − I1 ) I 3ω3 = ω1ω2 ( I1 − I 2 )

Teorema de Steiner (eixos desplaçats): I CM = I NoCM − M a 2δ − a a ij ij ij i j Momentangular: L = I ω = i i i

(

)

On I CM ha de ser el moment d’inèrcia respecte el CM de la figura en qüestió ij

∂Q ∂p = ∂q ∂P

∂Q ∂q =− ∂p ∂P

∂P ∂p =− ∂q ∂Q

∂P ∂q = ∂p ∂Q
⎛ ∂u ∂v ⎝ ∂u ∂v ⎞∑I ω
ij j

j

L = r ∧ mv = 1 1 ∑ Iijωiω j = 2 ω ⋅ L 2 i, j

Energia cinètica de rotació: T = 1 rot

Condicions de canonicitat per claudàtors de Poisson:

2

∑ω L
i i

i

[Q, Q ] =[ P, P ] = 0 [Q, P ] = δ ij = 1
∂ [u, v ] du dv = =0⇒ =0 dt dt ∂t

on: u , v [ ]q , p =

∑ ⎜ ∂q ∂p − ∂p ∂q ⎟
i

⎠

Període de precessió: T = 2π

Ω

du ∂u = [u, H ] + dt ∂t

ANNEX 1:Fórmules bàsiques

Propietats dels claudàtors de Poisson:

[ u , v ] = − [ v, u ]

[uv, w] = [u, w] v + u [ v, w]

T=

2π Ω

F = −∇U

Per petites oscil·lacions tindrem: Freqüència:...