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Relaci¶n de Problemas de C¶lculo para la Computaci¶n o a o Escuela T¶cnica de Inform¶tica de Gesti¶n e a o
Series num¶ricas e
1. Usar la de¯nici¶n para estudiar el car¶cter y sumar, si es posible, las siguientes series num¶ricas: o a e (a)
1 X (¡1)n+1 n=1

(b)

1 X1 n n=1

(c)

1 X n=0

ar

n

(d)

1 X (¡1)n n=2

3n

(e)

1 X 23n n=0

7n

2. Usar las propiedades(condici¶n necesaria, suma y producto por escalares) de las series num¶o e ricas para estudiar el car¶cter de las siguientes series: a ¶ 1 1 1 4 X n2 + 3 X n2 + 3 X µ1 X1 1 (a) (b) (c) ¡ (d) 4n ¡ 5n2 4n ¡ 5n 2 n 2n n n=1 n=27 n=1 n=1 3. Aplicar el Criterio de condensaci¶n para estudiar el car¶cter de las series: o a (a)
1 X 1 np n=1 1 X 1 n2 n=3 1 X 5 p n n=1 1 X 3 ¡ n2 n=1 1 X 1 ln n n=2

(b)(c)

(d)

n5

(e)

4. Aplicar el Criterio de comparaci¶n estandar para estudiar el car¶cter de las series: o a (a)
1 X n=1

1 2n¡1 +1

(b)

1 X 1 p n n=1

(c)

1 X sen(1=n) n=2

n2

+1

(d)

1 X n=0

n2

1 + n+ 1

5. Aplicar el Criterio de comparaci¶n por paso al l¶ o ³mite para estudiar el car¶cter de las series: a (a)
1 X n=1

1 2¡n¡1 n

(b)

1 X n=0

n +2p (n + 1) n + 3

(c)

1 X (4n3 + 5) sen(1=n) n=2

n2 3n

6. Aplicar el Criterio de la ra¶z para estudiar el car¶cter de las series: ³ a 1 1 X µ 5000 ¶n X µ n ¶4n¡2 (a) p (b) (c) n 7n + 4 n=1 n=1
1 X 2n n! n=1

1 X (ln n)¡n n=2

7. Aplicar el Criterio del cociente o el Criterio de Raabe para estudiar el car¶cter de las series: a (a) 22 33 44 (b) 1 + + + + ::: 2! 3! 4! (c)
1 X 1 n2n=1

8. Aplicar el Criterio de Leibniz para series alternadas o las propiedades de la convergencia absoluta para series de t¶rminos cualesquiera y estudiar el car¶cter (convergencia absoluta o e a condicional) de las siguientes series: (a)
1 X (¡1)n+1 n=1

n

(b)

1 X ln n (¡1)n n n=2

(c) 1 +

1 1 1 1 1 ¡ 2 + 2 + 2 ¡ 2 + ::: 2 2 3 4 5 6

1

9. Calcular las series de Taylor de lassiguientes funciones y utilizarlas para obtener el valor de la suma de las series num¶ricas que se indican: e 1 1 X 2n X µ ¡1 ¶k 1 x (a) e (b) n! 1¡x 3 n=1 k=2 1 X (¡1)n 1 1 1 1 (c) ln(1 + x) (d) arctg x ¡ 5 + 7 ¡ 9 + ::: 3 n 32 52 72 92 n=1 10. Sumar las siguientes series geom¶tricas o telesc¶picas: e o (a)
1 X 3 10k k=1

(b)

1 X (¡1)k k=2

5k

(c)

1 X

n+1 ln n n=1

µ

¶(d)

1 X n=2

n2

1 + 3n + 2

Problemas propuestos
Los seis primeros ejercicios de esta relaci¶n contienen una serie de criterios de convergencia y o algunas consideraciones sobre Series Num¶ricas. Su aplicaci¶n pr¶ctica en la resoluci¶n de ejercicios e o a o posteriores es tan importante como dar respuesta a las cuestiones que plantean. X X 11. Sea an una serie de t¶rminos positivos yconvergente. Probar que e a2 es convergente. n Xp >Podemos decir algo de an ? 12. Criterio de Pringsheim Supongamos que lim np an 6 siendo an de t¶rminos positivos. Probar que: =0 e
n!1

(a) Si p > 1 entonces, (b) Si p · 1 entonces, 13. Consideremos la serie

X

an converge a n no converge. donde P y Q son dos polinomios de grados r y s respectiva-

Q(n) mente; demostrar que entonces:
n=11 X P (n)

X

(a) Si s ¡ r · 1 la serie diverge.
1 X n=1

(b) Si s ¡ r > 1 la serie converge. 14. Demostrar que la serie solo si jrj < 1. R(n)rn , donde R es una funci¶n racional y jrj 61, converge si y o =

NOTA: Este resultado se demuestra f¶cilmente con el criterio del cociente; para r = 1 estamos a en el caso del ejercicio anterior y para r = ¡1 demostrar el siguiente resultado: 1 XP (n) La serie (¡1)n donde P es un polinomio de grado r y Q un polinomio de grado s Q(n) n=1 veri¯ca: 2

(a) Si s ¡ r > 1 la serie converge absolutamente. (c) Si s ¡ r < 1 la serie diverge.

(b) Si s ¡ r = 1 la serie converge condicionalmente. 15. Probar que si an y bn son dos in¯nit¶simos equivalentes, entonces las series asociadas tienen el e mismo car¶cter. a 16. Considerar la serie
1 X...