Fourier

LAS SERIES DE FOURIER Y ´ EL DESARROLLO DEL ANALISIS EN EL SIGLO XIX
Fernando Bombal Universidad Complutense de Madrid

Las Series de Fourier.

Fernando Bombal

Las series trigonom´tricas surgieron en la Matem´tica en el siglo XVIII, en relaci´n e a o con el estudio de las peque˜as oscilaciones de medios el´sticos, pero como veremos, su n a influencia fue decisiva en el desarrollo delAn´lisis a lo largo del siglo XIX. Es realmente a sorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos m´s importantes a acaecidos en este siglo, desde la evoluci´n de la noci´n misma de funci´n hasta el comienzo o o o de la topolog´ o los n´meros transfinitos, pasando por el desarrollo de lasdistintas nociones ıa u de integraci´n. De ello trataremos en esta charla. o 1.- El Problema de la Cuerda Vibrante. A partir del desarrollo del C´lculo en el siglo XVII, ´ste se hab´ convertido en la a e ıa principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea b´sica era reprea sentar la evoluci´n de un fen´meno natural por medio de una ecuaci´n diferencial que o o o relacionaba lasdistintas magnitudes relevantes en el fen´meno. Esta ecuaci´n se obten´ o o ıa a partir de un an´lisis del fen´meno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido n´mero a o u de leyes naturales que se hab´ ido descubriendo. Los fen´menos que pod´ describirse ıan o ıan en t´rminos de una sola variable ven´ as´ regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias, e ıan ı que relacionaban la funci´ninc´gnita con sus derivadas. Por ejemplo, la posici´n y(t) o o o (en funci´n del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de o una recta atra´ por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al ıdo centro, satisface la ecuaci´n diferencial o m cuya soluci´n general es o y(t) = C1 sen ωt + C2 cos ωt, ω= k . m d2 y = −ky dt2 (k constante > 0),

A lo largodel siglo XVII y la primera mitad del XVIII se hab´ desarrollado consiıan derablemente los m´todos de resoluci´n de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando e o en el fen´meno estudiado depend´ de dos o m´s variables significativas, su modelizaci´n o ıa a o ven´ dada por una ecuaci´n en derivadas parciales, mucho m´s dif´ de tratar. Uno de ıa o a ıcil – 1–

Las Series de Fourier.

FernandoBombal

los primeros fen´menos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con o los extremos fijos en los puntos x = 0 y x = del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la

cuerda de su posici´n de equilibrio y la soltamos, oscilar´ un plano. Se trata de encontrar o a la posici´n u = u(x, t) que ocupar´ el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de o a un s´lo punto material,se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilaci´n de o o una masa atra´ por un centro atractivo. ıda Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero la oscilaci´n de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento yk de la o k-´sima masa, Bernouilli hab´ obtenido la ecuaci´n en diferencias finitas e ıa o d 2 yk = a2 (yk+1 − 2yk + yk−1 ),dt2 donde a depende de la tensi´n de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las o masas puntuales. Bernouilli resolvi´ esta ecuaci´n y consider´ el caso de la cuerda continua o o o haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante t, la cuerda toma una forma sinusoidal, soluci´n de la ecuaci´n o o
d2 y dx2

= −ky (con k funci´n o

del tiempo).Este resultado ya hab´ sido obtenido en 1715 por J. Taylor. ıa En 1747, Jean le Rond D’Alembert, el famoso enciclopedista, se interes´ por el o problema. A trav´s de un an´lisis infinitesimal y las leyes f´ e a ısicas pertinentes, D’Alambert obtuvo la ecuaci´n diferencial que rige el fen´meno, a saber: o o ∂2u ∂2u = a2 2 , ∂t2 ∂x (1.1)

donde a es una constante que depende de las caracter´...