Fourier

Transformada de Fourier
Juan-Pablo C´aceres
CCRMA
Stanford University
Agosto, 2007
Contenidos
Introducci´on
S´ıntesis Aditiva
An´alisis Espectral
Transformada Continua de Fourier
DFT
Teoremas de Fourier
FFT
Convoluci´on
Introducci´on
Toda se˜nal
peri´odica, sin importar
cuan complicada
parezca, puede ser
reconstruida a partir de
sinusoides cuyas
frecuencias son
m´ultiplosenteros de
una frecuencia
fundamental, eligiendo
las amplitudes y fases
adecuadas. Matem´atico franc´es Joseph Fourier
(1768-1830)
S´ıntesis Aditiva
Reglas de la S´ıntesis Aditiva (o s´ıntesis de Fourier):
◮ S´olo sinusoides pueden ser combinadas
◮ Las frecuencias de todas las sinusoides deben estar
arm´onicamente relacionas
S´olo tenemos libertad para cada sinusoide en la elecci´on de:◮ Frecuencia fundamental
◮ Amplitud
◮ Fase
Expansi´on de S´ıntesis Aditiva
Deep Note: La pieza de m´usica por computador m´as famosa del mundo
(James ”Andy” Moorer) deep note.wav
Arm´onicos y Periodicidad
Para una frecuencia fundamental f, cualquier m´ultiplo entero de f
es un arm´onico.
Una serie arm´onica puede expresarse entonce:
f + 2f + 3f + 4f + 5f + 6f + 7f + · · ·
Una funci´on(se˜nal) f(t) es periodica son periodo  si para
cualquier t,
f(t) = f(t +  ), (−∞ < t < ∞)
Ejemplo: Onda Cuadrada
Ejemplos de S´ıntesis Aditiva: Clarinete
Con las siguientes reglas se puede
construir un sonido tipo clarinete:
◮ S´olo los armonicos impares estan presentes
◮ La Amplitud de los arm´onicos decrece a medida que el
n´umero de arm´onico crece
◮ No hay diferencia de fase entre losarmonicos (esto simplifica
la s´ıntesis)
s(t) =
∞X
n=1
1
n
sin(n!t + 0) con n impar
s(t) = sin(!t + 0) +
1
3
sin(3!t + 0) +
1
5
sin(5!t + 0) + · · ·
An´alisis Espectral
Cualquier se˜nal (waveform) per´odica puede ser descompuesta en
sinusoides
◮ Estudio de timbres musicales
◮ Clasificaci´on de sonidos por contenido espectral
◮ Res´ıntesis usando s´ıntesis de Fourier
◮Sintetizaci´on de sonidos hibridos (mezcla de sonidos
analizados, morphing)
◮ Creaci´on arbitraria de mezclas de frecuencias
El espectro (analizado) del clarinete debiera verse as´ı:
Como detectamos (analizamos) las Frecuenias?
En el espectro anterior, aparecen claramente la energ´ıa de cada
sinusoide del clarinete. Como detectamos esto con an´alisis?
Preambulo: Multiplicaci´on de Se˜nalesMultiplicaci´on de Se˜nales
Detector de Frecuencias
Multiplicaci´on de se˜nales id´enticas genera una se˜nal que es siempre
positiva.
◮ x(t): sinusoide como se˜nal de prueba (se˜nal que ser´a
analizada)
◮ y(t): se˜nal de sondeo, sinusoide con frecuencia variable
◮ c(t): el producto de las 2 se˜n´ales x(t)y(t)
c(t) ser´a mayor cuando x(t) e y(t) sean id´enticas.
Formalizaci´on del Detector
Comose˜nal de sondeo usamos un fasor:
e−j2ft
Este fasor tiene una s´ola componente en frecuencia.
Primero, multipicamos la se˜n´al de input con el fasor de sondeo:
x(t) · e−j2ft
Finalmente sumamos (integramos) el producto:
Z x(t)e−j2ft
Transformada Continua de Fourier
X(f) = Z ∞
−∞
x(t)e−j2ft dt Transformada de Fourier
◮ t: Tiempo
◮ f: Frecuencia en Hz
◮ x(t): Se˜nal de prueba
◮e−j2ft: Fasor de Sondeo (Kernel Function)
◮ X(f): Espectro en funci´on de la frecuencia f
x(t) ↔ X(f), es decir para una funci´on x(t) existe un equivalente
X(f).
X(f), el espectro, revela la fuerza (energ´ıa) de varias componentes
de frecuencia, ordenadas por frecuencia.
La transformada de Fourier act´ua como un detector de energia en
frecuencia-dependiente
Transformada Inversa de Fourier
Apartir de la transformada, podemos recuperar la se˜nal original
tomando la Transformada Inversa de Fourier.
x(t) = Z ∞
−∞
X(f)ej2ft df Transformada Inversa de Fourier
Notar la simetr´ıa con respecto a la Transformada de Fourier.
Tranformadas Discretas (DFT)
El equivalente en tiempo y frecuencia discreta es la Transformada
Discreta de Fourier (DFT)
X[k] =
N−1
Xn=0
x[n]e−
2j
N...