Fourier
FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
CALCULO AVANZADO:
SERIES DE FOURIER:
Ejercicios resueltos y propuestos.
Prof. Jorge Inostroza L.
1.- Hallar el período de la función: f ( x) Solución:
Sen(
2 )x . b a
Si Sen(
2 )x b a 2 )x b a
Sen u
Sen u Sen(u 2 ) Si T es el período 2 x b a 2 T) b a
Sen(
Sen(
2 ( x T ))b a 2 Sen( a bien T
Sen(
Sen(u
2 )
2 T b a Por ejemplo si f ( x)
(b a) el período buscado.
Sen
3 ) x y como f ( x) 5
10 2 . el período será 10 3 3 p .
2.- Probar que si f (x) ,tiene período p; f ( x) tiene período Solución:
f ( x)
f ( ( x T ))
f( x
p)
T
pó T
p
. (Basta cambiar por 1 ).Entonces
x Del mismo modo entonces f ( ) tendrá período T elperíodo de Sen 2 x será T b a 2
p
b a o sea b-a. 2
1
Y el período de Cos
x l
será
2 l
2l .
3.- Pruebe que la función :
f ( x)
Solución.
Sen x
1 Sen 3x 3
1 Sen 5 x , es de período 6 5
Sen x , tiene periodo 2k1 2k 2 Sen 3x “ “ 3 2k 3 Sen 5 x “ “ haciendo k1 5 Y por lo tanto la función dada.
3 k2
9 y k3
15 cada una será de período 6 .
4.- Pruebela ortogonalidad de la base: Solución:
1 Coskx 1 Senkx Coskxdx Senkxdx 0 0
1; Cosx; Senx;.....................Coskx; Senkx...............
Cos nx Sen mx Cos nx Cos mx Sen nx Sen mx
Cosnx Sen mxdx Cos nx Cos mxdx Sen nx Sen mxdx
........ ....... ........
0 0 0.
5.- Si la función : f (t ) m enteros tal : n Solución.
Cos t Cos t es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n
2Cos t Cos t
Cos (t Cos (t
p) p)
p p
2m 2n . Luego el cuociente
m . n
6.- Pruebe que la función f (t ) Solución.
Cos (10t ) Cos (10
)t , no es periódica.
Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:
10 10 esto no es posible pues el primer miembro es un entero .
m n
10(m n)
7.- Pruebe que la función : f (t ) 10 2 Cos 2 t , es de período Solución.
.1 Cos 2t 1 f (t ) 10 2 ( ) = 50(1 Cos 2t ) , Como Cos 2t tiene período 2 , la función lo es. 2 2
8.- Encontrar el período de la función: f (t ) Solución.
Cos
t t Cos . 3 4
Cos
t 3 t Cos 4
es de período 6 es de período 8 , luego ambas lo son de período 24
9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:
0 f ( x) 0 /2 0
x
0
x /2 /2 x
3
Solución.Los coeficientes serán: a 0
ak 1 f ( x)Coskxdx 1
1
/2
f ( x)dx = Coskxdx
1
/2
2 ..........
dx =……….=
4
.
0
2
1 Senk = 2k 2
bk
1
f ( x) Senkxdx
1
/2
0
2
Senkxdx
1 ........k impar 2k 1 1 .......... (1 Cosk ) = ......k 2,6,10,14... k 2k 2 0 .......k 4,8,12,16
10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función: f ( x) Solución.
x......x..............0
x x
0
Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será : a0 2 a k Coskx , con a 0
1
2
0
xdx
ak
2
0
xCoskxdx
1 ........ 2 (Cosk k
1)
0........k par 2 ....k impar 2 k
La S de F será:
2
2
1
Cos (2k 1) x (2k 1) 2
11.- Si f(x) = Cos ( Serie de Fourier.
x ),
x
;
una constante no entera. Probar que a partirde su
Sen
2 (
1 2
2
1
2
1 1
2
1 2
2 2
32
............)
4
Solución.
Se trata de una función par ,luego bk
ak 2
0
0y
a0
1
Cos
k)x
xdx
dx
2
Sen
Cos
x Cos kxdx =
1
0
Cos (
k ) x Cos (
ak
1 Sen( k
k)x
Sen( k
k)x
0
1 Sen(
k) k
k
Sen(
k) k
ak
1 Sen
Cosk k
k
Sen
Cosk k
=
1 Sen1 k
1 k
ak
2
2
1 k2
Sen
.
Luego la representación quedará:
Cos x Sen
1
2 ( 1) k Sen ( 2 k2) ( 1) k . ( 2 k2)
Sen
1
2
( 1) k Coskx ; si x = 0 ( 2 k2)
Sen
2
1 2
2
12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función
f ( x)
0 x
x 0 x
0
2
Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:...
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