Fourier

Series de Fourier

"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",
Genaro González

1

Serie trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo
T pueden expresarse por la siguiente serie,
llamada serie trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(0t) + a2cos(20t) + ...
+ b1sen(0t) + b2sen(20t) + ...
Donde 0 = 2/T se denomina frecuencia
fundamental.


f(t )  12 a0   [an cos( n0t )  bn sen (n0t )]
n 1

2

Ortogonalidad

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son
ortogonales en el intervalo a < t < b si dos
funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto
cumplen:
b

0
f m(t)f n(t)dt 

 rn
a

para m n
para m n

Ejemplo: Demostrar que las funciones sen t y cos t
son ortogonales en el intervalo – < t <:
π

sen 2t
sentcos tdt 

2
π

π

0
π
3

Funciones Pares e Impares
f(t)

  

 





Una función es par
si su gráfica es
simétrica respecto al
eje vertical, es decir
f(t) = f(-t)

t

f(t)

  

 





t

una
función
es
impar si su gráfica es
simétrica respecto al
origen, es decir,
-f(t) = f(-t)
4

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?


f (t )  12 a0   [an cos( n0t )  bnsen(n0t )]
n 1

T /2

2
a0  f (t )dt
T  T /2
T /2

an  T2

f (t ) cos( n t )dt
0

n 1, 2, 3,...

 T /2
T /2

bn  T2

f (t )sen(n t )dt
0

 T /2

n 1, 2, 3,...
5

Encontrar la serie de Fourier para la función
de onda cuadrada de periodo T:
1
...

-T

/2

f(t)

0

T

/2

T ...

t

-1

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
  1 para  T2  t  0
f (t ) 
T
1
para
0

t

2
0= 2
6

Coeficiente a0:
T /2

  1 para  T2  t  0
f (t ) 
T
1
para
0

t

2


a0  T1

0
T /2



a0  T2   dt  dt   T2   t

0
 T / 2


f (t )dt

 T /2

0

T /2

t
 T /2

0

7


 0


Coeficientes an:
  1 para  T2  t  0
f (t ) 
T
1
para
0

t

2


T /2

an  T2

f (t ) cos(n t )dt
0

 T /2

0
T /2


2
an  T    1 cos( n0t )dt  1 cos( n0t)dt 
0
 T / 2

0
T /2


1
1
 T2  
sen (n0t )

sen ( n0t )  0
n0
 n0
 T /2
0 

para n 0
8

Coeficientes bn:
  1 para  T2  t  0
f (t ) 
T
1
para
0

t

2


T /2

bn  T2

f (t ) sen(n t )dt
0

 T /2

0
T /2


2
bn  T    1 sen (n0t )dt  1 sen (n0t )dt  
0
 T / 2

0
T /2


1
1
2
T 
cos( n0t )

cos( n0t ) 
n 0
 n 0
 T /2
0 

1
  1 cos( n )   cos( n )  1
n
2
 1  ( 1) n ) para n 0
n
9

Finalmente, la serie de Fourier queda como
4
f (t )   sen(0t )  13 sen (30t )  15 sen (50t )  ...

4  1
f (t )  
sen (2n  1)0t ) 
 n 1 2n  1

En la siguiente figura se muestran: la
componente fundamental y los armónicos 3,
5 y 7, así como la suma parcial de estos
primeros cuatro términos de la serie para
0 =0= 2, es decir, T = 2:
10

4
f (t )   sen (0t )  13 sen (30t )  15 sen(50t )  ...

Componentes de la Serie de Fourier

1.5

Componentes

1
0.5
0

­0.5
Suma

­1

fundamental
tercer armónico
quinto armónico
séptimo armónico

­1.5

­1

11
­0.5java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
0
0.5
Fourier series
t

1

Nota:
Para expresarse como serie de Fourier f(t), no
necesita estarcentrada en el origen. Simplemente
debemos tomar el intervalo, donde está definida,
como el periodo de la serie.
La ortogonalidad de las funciones seno y coseno
no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino
en cualquier intervalo que cubra un periodo
completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el
mismo resultado.

12

Habíamos calculado
los coeficientes para:

  1 para  T / 2  t  0
f (t) 
para 0  t  T / 2
1

f(t)

1
...

-T

/2

/2

0

T

T ...

t

-1

Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos:
1

 1 para 0 t  T / 2
f (t ) 
  1 para T / 2 t  T

...

-T

/2

f(t)

0

T

-1
13

/2

T ...

t

De hecho si repetimos
para cualquier intervalo
de longitud el periodo
T de la función, será lo
mismo:
T /2

a0  T1

f(t)
1
t

......