Fraciones

Análisis Matemático I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO

Integración de funciones racionales - 2007

Ing. Gladys Astargo

Integración de funciones racionales
Ubicación en el Programa:
Unidad 5.B. Integral indefinida Necesidad de encontrar funciones primitivas. Definición y propiedades de la integral indefinida. Tabla de integrales inmediatas. Métodos generales de integración: descomposición,sustitución y partes. Integración de funciones racionales. Ilustración sobre la necesidad histórica de otros métodos particulares. Enfoque computacional.

Para resolver integrales de algunas funciones racionales, necesitarás transformar la función integrando en una suma de funciones más sencillas, para poder aplicar el método de Descomposición y obtener así una suma de integrales que admitanprimitivas inmediatas o casi inmediatas. Este método se llama “Descomposición de un cociente de polinomios en fracciones simples”. Ejemplo: La integral ∫ ¿CÓMO? Nuestro problema consiste entonces en descomponer la función racional f(x) = de fracciones simples. Llamamos fracciones simples a aquellas cuyos denominadores son polinomios irreducibles o primos, es decir que no admiten otros divisoresademás de los escalares o ellos mismos. Son polinomios irreducibles, por ejemplo: x – 2; x + 3; x2 + 1; en cambio no lo son: x2 − 1; x2 –x–2 pues se pueden factorizar Si se te plantea la suma
3 2 + x − 2 x +1
P( x ) Q( x )

2x 2 − 8x + 7 ( x − 2)
3

dx se puede descomponer en 2

∫ x − 2 dx − 1∫ (x − 2)

1

−3

dx

en una suma

ya sabes cómo operar:
3( x + 1) + 2( x − 2) 3 2 5x − 1 += = 2 x − 2 x +1 ( x − 2)( x + 1) x −x−2

Realizarás la suma hallando el denominador común:

Ahora se trata de efectuar el proceso al revés, es decir, conociendo

5x − 1 x2 − x − 2

encontrar

las fracciones que le dieron origen (supongamos que no las conocemos). Solución: 1º) Observa que x – x – 2 = (x−2)⋅(x+1), por ello es razonable pensar que esos dos factores son los denominadores desendas fracciones. Entonces hay dos fracciones cuyos denominadores son cada uno de los factores en que se puede descomponer el polinomio del denominador. 2º) Falta encontrar ahora los numeradores de esas fracciones que, como no los conocemos, los indicaremos con letras A y B:
5x − 1 x −x−2
2
2

=

A( x + 1) + B( x − 2) A B + = x − 2 x +1 ( x − 2)( x + 1)

Si los denominadores del primery tercer miembros son iguales, los numeradores también lo son: 5x −1 = A (x+1) + B (x−2) Esta es una identidad y por lo tanto se cumple para cualquier valor que tome ‘x’, por ejemplo: 7; −5; 100, 1 437, pero conviene, en este caso, darle a ‘x’ los valores especiales 2 y −1. Observa: 1

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Ing.Gladys Astargo

Si x = 2 → 5 ⋅ 2 − 1 = A (2+1) + 0 ⇒ 9 = 3A

⇔A=3

son los resultados esperados

Si x = −1 → 5 (−1) −1 = 0 + B (−3) ⇒ −6 = −3 B ⇔ B = 2 ¿Por qué usamos x = 2 y x = −1? ¿Qué sucedería con otros valores de x? Prueba con otros valores y anota tus resultados. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… P (x) Abordemos ahora el problema general dela función racional (de variable real) f(x) = Q( x)

1) El grado de P(x) debe ser menor que el grado de Q(x). Si no es así tendrás que realizar
primero la división y expresar el resultado como: En este caso trabajarías para descomponer
R (x) Q( x ) P( x ) R (x) = C(x) + . Q( x ) Q( x )

2) Se factoriza Q(x). Para ello resolvemos la ecuación Q(x) = 0. Por el teorema fundamental del
Álgebra,esta ecuación tiene exactamente n raíces, que podrán ser reales o complejas y, en cada caso, distintas o múltiples. Según el tipo de raíces que tiene Q(x) = 0, se pueden presentar cuatro casos: 2.1) Raíces reales distintas Ejemplo: 2, −1, 3. En general x1, x2,..., xn. Es el caso visto en el ejemplo de la suma de fracciones: dos raíces reales distintas. El denominador se puede factorizar como:...