Frecuencia compleja

1.1 Frecuencia Compleja:
Una forma elegante y compacta para definir funciones de excitación conocidas tales como señales constantes, exponenciales, senoidales y senoidales con envolventes exponenciales, es utilizando el concepto de una “fuente exponencial compleja” en términos de la “frecuencia compleja”.
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Definición:

v S (t )  k e

st

s    jwdonde: vs(t): voltaje exponencial compleja. s: frecuencia compleja. k: constante compleja, (independientes del tiempo). Para cada valor de “s” tenemos 4 casos o tipos particulares de señales de excitación, las cuales se enumeran:
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Caso 1: señales constantes o DC

s 0  vS (t )  ke  k (constante)
0

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Caso 2:Exponenciales crecientes y decrecientes

s    v S ( t )  ke
100 100 75

 t

2

2

1.5

2 ( t ) exp

50

2 ( t ) exp

1

25

0.5

2

0

0.036631
0 0 1 2 t 3 4 4

0

0 0

1

2 t

3

4 4

trace 1

trace 1

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Caso 3: Corriente Alterna: AC/CA

s  jw  vS (t ) ke
2 2 1

jwt

k cos(wt )

( 1.8  ( t cos1) )

0

1

2

2

0 0

5

10 t

15

20 20

trace 1

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Caso 4: senoides con envolventes exponenciales (crecientes o decrecientes) s    jw

 
100 100

v S (t )  ke v S (t )  ke

(   jw ) t  t

 ke
15

 t

e

jwt

cos( wt )
15 7.5

50

( 15 sin( 10 t ) exp 0.4t ) ) (

( sin( 10 t ) exp( 0.4t ) )0

0

7.5

50

100 100 0

15 15

0

3

6 t

9

12 12

0 0

3

6 t

9

12 12

trace 1

trace 1

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Resistor en frecuencia compleja:
sea: iS (t )  ke st de Ohm: vS (t ) iS (t )R  kR e
sus fasores respectivos son:
st

I S  k , VS  kR VS kR  ZR   R IS k   Z R (s)  R [ ]  Z R ( jw)  R [ ]UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007

Inductor en frecuencia compleja:
sea: iS (t )  ke st diS (t ) de "L": v S (t )  L  k LSe st dt sus fasores son: I S  k   , VS  k LS   VS kS L   ZL    SL IS k  Z L ( s )  SL
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[ ]
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 Z L ( jw )  jw L [ ]

Capacitor en frecuencia compleja:
sea: v ( t )  ke st dv ( t ) de "C": i(t )  C  CkSe st dt susfasores son: V  k   , I  kSC   V k 1  ZC    I kSC   SC 1  ZC (s)  [ ] SC j  Z C ( jw )  [ ] wC UES-FIA-EIE-AEL215

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1.2 Función de Transferencia (Red):
Es un modelo matemático que describe el comportamiento (respuesta) de cualquier sistema cuando a la entrada se le aplica una variable física en particular (excitación).

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Ciclo II-2007Los sistemas mecánicos, eléctricos, etc. se pueden traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento frente a condiciones de operación particulares. Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Pierre Simon Laplace, a través de su transformación matemática.

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Pierre Simon Laplace (1749-1827)Astrónomo y matemático francés, aplicó con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los movimientos planetarios en el Sistema Solar. Intentó explicar el origen de este sistema en su hipótesis nebular de la evolución estelar. Los procedimientos matemáticos desarrollados por Laplace para realizar cálculos sentaron las bases de las posteriores investigaciones científicas sobre calor, magnetismo yelectricidad.
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La “función de red o función de transferencia” se define como la relación de la Transformada de Laplace de una variable de salida respecto a una variable de entrada, identificada por “H” o “M” en el dominio de la frecuencia compleja “s”:

H ( s) 
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£{variable salida} £{variable entrada}
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En el dominio de...