Función

1. CONTENIDO MATEMÁTICO

2.1 DEFINICIONES
Una función de la forma:

Con a, b y c pertenecientes a los reales y a 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
                  
si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se diceque la ecuación es incompleta.
RAÍCES:
Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:
 
              
 
Para podercalcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces
ax² + bx +c = 0
Pero para resolver ax² + bx +c = 0 no se pueden aplicar las propiedades de las ecuaciones, éstas tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

al resultado de la cuenta  b2  -4ac se le llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:
     Si  b2  - 4ac > 0    tenemos dos soluciones posibles.
     Si  b2  - 4ac =  0   el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.
     Si  b2  - 4ac <  0   la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.
Entonces, si laecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:
1er caso: ax2 + bx = 0
2do caso: ax2 + c = 0
SIMETRÍA
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entreestos, o sea 


VÉRTICE

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale:

Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tengasus ramas para abajo o para arriba.
Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:


CONCAVIDAD

Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa: 
También suele decirse que:
   Si  a > 0 la parábola es cóncava o con ramashacia arriba.
   Si  a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

2.2 SOLUCIÓN GENERAL
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
y
Son soluciones. Se puede observar que esta fórmula tienelas seis operaciones racionales del álgebra elemental.
2.2.1 DEDUCCIÓN FÓRMULA GENERAL
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Sea dada la ecuación:

donde para garantizar que sea realmente una ecuaciónpolinómica de segundo grado.
Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos en...