Funcion Cuadratica

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es un caso particular de función polinómica. Como todas ellas, tiene dominio real. Y su particularidad distintiva es el grado 2, por lo que también se la conoce como "función de 2º grado". Su forma es:
f (x) = y = a x ² + b x + c
- a, b y c - - - -son nº reales
- a ≠ 0 (coeficiente a distinto de 0)
- su gráfico es una curva llamada parábolaConjunto Imagen
En general: Si a > 0   el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞)
Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv]
Sus términos se llaman:
y = a x ² + b x + c

Termino Termino Termino
Cuadrático Lineal Independiente          
Recordar: para que una función se transforme en unaecuación y se iguala a 0.        
0 = a x ² + b x + c
Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término independiente o lineal se dice que la ecuación es incompleta.
1er  caso: ax2 + bx = 0 - - - - - - - Falta término independiente
2do caso: ax2 + c = 0 - - - - - - - - Falta término lineal
Elementos de la función cuadráticaRaíces
Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

 
                



Para poder calcular las raíces de cualquierfunción cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces a x² + bx +c = 0
Pero para resolver ax² + bx +c = 0, no se pueden aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:
Fórmula Resolvente


al resultado de la cuenta b2  - 4.a.c (base de raíz de la formula) se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:
● Si  b2  - 4.a.c > 0 ------------ tenemos dos soluciones posibles
● Si  b2  - 4.a.c =  0 ----------- el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real doble.
● Si  b2  - 4.a.c  0 la parábola es cóncava hacia arriba
● Si  a < 0la parábola es cóncava hacia abajo
● Si 0 < |a| < 1 la parábola se abre
● Si |a| > 1 la parábola se cierra



Desplazamiento Vertical
Función de la forma y = x ² + c
La ordenada al origen indica el desplazamiento que sufre la parábola, respecto al eje y
● Si  c > 0 la parábola se desplaza hacia arriba
Ej: y = x2 + 3c = +3
la parábola se desplaza 3 unidades hacia arriba


● Si  c < 0 la parábola se desplaza hacia abajo
Ej: y = x2 - 4 
c = - 4
la parábola se desplaza 4 unidades hacia abajo

Desplazamiento Horizontal
Función de la forma y = ( x - xv ) ²
El desplazamiento que sufre laparábola, respecto al eje x, esta establecido por el vértice, teniendo este las coordenadas (xv ; 0)
Vertice = (3 ; 0)
La parabola se desplaza
3 unidades hacia la derecha





Vertice = (- 4 ; 0)
La parabola se desplaza
4 unidades hacia la izquierda



DESPLAZAMIENTO OBLICUO
Función de la forma y = ( x - xv )² + yv
Dada la fórmula planteada; la parábola; se traslada xv unidades sobreeje X y, yv unidades hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de este último valor.
Por ejemplo: Si consideramos, el vértice de la parábola original centrada se traslada 2 unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia arriba. O sea, de la formula


y = ( x – 2 )² + 5






Función de la forma y = a . ( x - xv )² + yv
Un caso parecido al anterior pero con coeficiente a...