funcion de probabilidad

Función de probabilidad

Función de probabilidad
 Sea xi un valor que puede tomar una variable aleatoria

discreta X .
 Sea f (xi) la probabilidad de que X asuma un valor xi , de
tal forma que ∑f (xi) = 1.
 Se denomina función de probabilidad al conjunto de
parejas ordenadas {xi , f (xi)}.
 Se le llama también distribución de probabilidad.

Ejemplo 1
 Se lanzan dos monedas.
Se define X como el número de caras que se obtiene en un

lanzamiento.
 La función de probabilidad es …

x

0
1
2
f(x) 1/4 1/2 1/4

Ejemplo 2
 Se quiere determinar la distribución de probabilidad del

número de pacientes que llegan a una clínica dental en un
intervalo de una hora.
 ¿Qué datos se necesita?
 Datos del número de pacientes que llegan a la clínica dental, envarios intervalos de una hora, durante varios días. Por ejemplo:

Ejemplo 2
1
3
0
2

1
3
1
1

2
2
1
2

3
1
0
2

0
4
2
2

1
1
2
3

1
3
3
3

2
3
7
0

1
4
1
1

3
1
1
3

1
3
0
3

3
3
1
3

3
2
2
1

4
4
0
0

4
4
1
1

3
1
1
1

2
3
2
1

2
0
2
1

4
0
2
5

3
3
3
1

 ¿Qué hacemos con estos datos?
Seconstruye una tabla de distribución de frecuencias

x
f

0
9

1
24

2
17

3
21

4
7

5
1

6
0

7
1

Ejemplo 2
 Finalmente, se calculan las probabilidades “experimentales”

f (x).

x

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

0,1125

0,3000

0,2125

0,2625

0,0875

0,0125

0

0,0125

La función de distribución
(acumulativa)
 La función dedistribución, F (x), acumula en forma

sucesiva las probabilidades f (x).
 Se ordenan en forma ascendente los posi-bles valores que
puede tomar X, y se calcu-la:
F (x1) = f (x1)
F (x2) = f (x1) + f (x2)
F (x3) = f (x1) + f (x2) + f (x3)
...
F (xn) = f (x1) + f (x2) + f (x3) + ... + f (xn) = 1

El valor esperado de una variable
aleatoria discreta
 La media aritmética de un conjuntode n datos es:

 fi 
fi x i    x i
i 1  n 
i 1
 Cuando n tiende a un valor muy grande, fi /n puede sustituirse
por la probabilidad f (xi ), y se obtiene el valor esperado:

1
x
n

n

n





n

  E ( x )   f ( x i )x i
i 1

¿Qué representa  ?

Ejemplo 1
 Suponga el siguiente juego de azar: el jugador

participante debe hacer un máximo de 2lanzamientos de
tres monedas. Si obtiene tres caras o tres sellos en
cualquiera de estos lanzamientos, gana $10. Si no ocurre
esto, y obtiene el mismo número de caras y sellos del
primer lanzamiento, gana $5. Si no ocurre lo anterior,
pierde $20. ¿Cuál es la ganancia o pérdida esperada?
Interprete este resultado.

Ejemplo 1
x

10

P (x )

14/32

5
9/32

-20
9/32

P(10) =(1/2)(1/2)(1/2)  (3)(1/2)(1/2)(1/2)
P(5) = (3)(1/2)(1/2)(1/2) + (1/2)(1/2)(1/2)

++(6/8) [(1/2)(1/2)(1/2) + (1/2)(1/2)(1/2)]
(3)(1/2)(1/2)(1/2)  (3)(1/2)(1/2)(1/2)

La ganancia esperada será:

 = 10(14/32) + 5(9/32) -20(9/32) = 5/32

Ejemplo 2
 La demanda semanal de cierto artículo es una variable aleatoria

cuya función de probabilidad es la siguiente:
x

0

1

2

3

4

5f(x)

0,10

0,20

0,30

0,20

0,15

0,05

 Un fabricante puede producir estos artículos a un costo unitario

de $300, fijando su precio de venta en $800 cada uno; pero, por
cada artículo que no venda en la semana, debe pagar $50 por
almacenaje. Si el fabricante decide producir 3 artículos
semanales, ¿cuál es su utilidad semanal esperada?

Prod.: 3 unid.
Costo: $300/unid.P.V.: $800/unid.
C.alm: $50/unid.

Ejemplo 2

Es necesario calcular la utilidad que se tendría
para cada posible demanda:
x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0,10

0,20

0,30

0,20

0,15

0,05

u

-1050

-200

650

1500

1500

1500

La utilidad esperada es: E(u) = $650

Varianza y desviación estándar de una
variable aleatoria discreta
 La varianza de...