Funcion Escalón Unitario O Función De Heaviside

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO O FUNCIÓN DE HEAVISIDE
El punto de partida para el tema de distribuciones discontinuas es la función Escalón Unitario, que está definida como:
Uat= 0 si t<a1 si t>aGráficamente esta función es:

Para cada constante a.

Transformada de Laplace de una función Escalón Unitario
Cuando a > 0, la transformada de Laplace de Uat es:
ʆ Uat= a∞e-st Uat dt
ʆUat= a∞e-st 0 dt+ a∞e-st 1 dt
ʆ Uat= a∞e-st dt
ʆ Uat= -1s e-st t→∞t→a
ʆ Uat= -1s est t→∞t→a

Aplicando el Teorema Fundamental:
ʆ Uat= limt→∞-1s est- -1s eas
ʆ Uat= 1s eas
ʆ Uat= 1s e-asEn definitiva:
ʆ Uat= 1s e-as ; para a>0
En forma equivalente, la formula inversa es:
ʆ-11s e-as= Uat ;para a>0

Ejemplo:
1. Encuentre la transformada de Laplace de la siguientefunción:
ft=0 si t<12 si 1<t<31 si t>3
Solución:

Como se puede ver en la figura, hay un incremento (salto), de dos unidades en t=1 y una disminución de una unidad ent=3. Luego se tiene que:
ft=2 U1t- U3(t)
ʆ ft=2ʆ {U1t}- ʆ {U3(t)}
Fs=21s e-s- 1s e-3s
Fs= 2s e-s-1s e-3s

2. Encuentre la transformada de Laplace de la siguiente función:
ft= 3 sit<2-1 si t>2
Solución:

Al comienzo el valor es de 3, luego sufre una caída de -4. Se tiene que:
ft=3-4 U2t
ʆ ft=ʆ 3-4 ʆ U2t
Fs=3s-4 1s e-2s
Fs= 3s- 4s e-2s

Segundo Teorema deTraslación
Forma 1: ʆ ft Ua(t)= e-as f(t+a)
Forma 2. ʆ ft+a Ua(t)= e-as ʆ f(t)

Ejemplo:
1. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función:
ft= 2-t si t<2t-1 si2<t<51 si t>5
Solución:
ft=2-t ft=t-1
t | 2 | 1 | 0 |
f(t) | 0 | 1 | 2 |t | 2 | 3 | 4 | 5 |
f(t) | 1 | 2 | 3 | 4 |

ft=2-t U2t+t-1 U2t-3 U5(t)
ʆ ft=ʆ 2-t U2t+ʆ t-1 U2t-3 ʆ U5(t)
Fs= e-2s 2s- 1s2+ e-2s 1s2- 1s -31s e-5s
Fs= 2s e-2s- 1s2 e-2s+ 1s2 e-2s-1s e-2s-...