El Círculo Unitario y las funciones

El Círculo Unitario y las funciones
Ángulos en el plano
Ángulos en Posición Estándar
Un ángulo está formado por un lado inicial, un lado terminal y el vértice,
como se muestra en la figura:

En el sistema de coordenadas cartesianas, se dice que un ángulo está en
posición estándar cuando el vértice está en el origen y el lado inicial está en el
lado positivo del eje x.

Ejemplos:

Como vemos enlos ejemplos de arriba, los ángulos positivos se miden en el
sentido contrario a las manecillas del reloj; los ángulos negativos se miden en
el sentido de las agujas del reloj.
Ángulos Coterminales
Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman
ángulos coterminales.
Ejemplos:

Ángulos Cuadrantales
Los ángulos en posición estándar cuyo lado terminal está en alguno de los ejescoordenados, se llaman ángulos cuadrantales.
Ejemplos:

Ángulos de Referencia
El ángulo de referencia α' de un ángulo α en posición estándar, es el ángulo
agudo formado por el lado terminal de α y el eje x.
Ejemplos:

El valor absoluto del resultado de una función trigonométrica en
cualquier ángulo es igual al resultado de esa función
trigonométrica en su ángulo de referencia. Así el valor deuna
función trigonométrica para un ángulo que mide más de 90° (o
menos que 0°) se puede determinar a partir de su ángulo de
referencia. Claro hay que utilizar el cuadrante donde el ángulo está
ubicado para determinar el signo correcto.

Periodicidad
Recuerda que podemos definir ángulos que describen más de una vuelta
alrededor del círculo. Los valores de las funciones seno y coseno son los
mismospara ángulos coterminales, por ejemplo sen(390°) = sen(30°). De esta
forma los valores de la función se repetirán periódicamente en forma
indefinida.
Una función es periódica si hay un intervalo positivo de la
variable independiente para la cual su gráfica se repite
exactamente, o sea una función f es periódica si existe un valor
positivo p tal que f (x+p) = f (x) para todo x. El valor p positivomenor tal quef (x+p) = f (x) para todo x se llama el periodo.

Ejemplos:
1 La gráfica siguiente muestra una función periódica, pues su gráfica se repite cada
. 180 unidades. Claro se repite cada 360 unidades, cada 540 unidades y cada
múltiplo positivo de 180 también. Como 180 unidades es el valor positivo menor
para lo cual la gráfica repite, decimos que el periodo es 180.

2 La función sen(x) esperiódica, pues su gráfica se repite cada 360°. En este caso
. decimos que el periodo es de 360°

3 La función cos(x) es periódica, pues su gráfica se repite cada 360°. Las funciones
. seno y coseno tiene que ser periódicas porque las coordenadas en el círculo
unitario tiene que repetir cada vuelta del círculo es decir cada 360°

Es importante notar que en cada periodo la gráfica es exactamenteigual. La
siguiente función, por ejemplo, no es periódica:

En la siguiente aplicación podemos apreciar la conexión entre la gráfica de la
funcion coseno y el punto de intersección del lado terminal del ángulo y el
círculo unitiario. Observa que el periodo de la función coseno tiene que
corresponder a una vuelta completa del círculo. Cuando se mide en grados el
periodo es 360°

Cuando vamos a unparque de diversiones y nos subimos a una estrella, el
movimiento de ésta es periódico, pues el movimiento se repite una y otra vez.
La siguiente aplicación muestra la gráfica de la altura a la que está una
persona que se encuentra en la estrella a través del tiempo.

Created by EDC in Maine staff for the Maine Learning Technology Initiative (MLTI). Adapted from tools by J. Lawlis

Para describireste movimiento periódico matemáticamente necesitamos una
función cuyos valores se incrementen, luego disminuyan y repitan el patrón
indefinidamente. En una forma similar, en esta lección, vamos a utilizar el
círculo unitario para definir las funciones seno y coseno. Discutiremos las
propiedades de estas funciones y analizaremos sus gráficas.
Para estudiar movimiento y localizaciones en círculos es...