Funcion generadora

FUNCION GENERADORA
En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos.
Hay varios tipos de funciones generadoras: funciones generadoras ordinarias, funciones generadoras exponenciales, la serie de Lambert, la serie de Bell y la serie deDirichlet; de las cuales abajo se ofrecen definiciones y ejemplos. Cada sucesión tiene una función generadora de cierto tipo. El tipo de función generadora que es apropiada en un contexto dado depende de la naturaleza de la sucesión y los detalles del problema que se analiza.
Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en unvalor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x.
Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en en el sentido usual de ser mapeos entre un dominio y un codominio; el nombre es únicamenteel resultado del desarrollo histórico de su estudio.
Una función generadora es una cuerda de tender en la que colgamos una sucesión de números para mostrarla
Herbert Wilf[1]

Contenido[ocultar] * 1 Función generadora ordinaria * 2 Aplicaciones * 2.1 Determinación de la función generadora a partir de una recurrencia * 2.2 Ejemplo de aplicación práctica * 3 Otras funcionesgeneradoras * 3.1 Función generadora exponencial * 3.2 Función generadora de Poisson * 3.3 Serie de Lambert * 3.4 Serie de Bell * 3.5 Función generadora de la serie de Dirichlet * 3.6 Funciones generadoras de sucesiones polinómicas * 4 Ejemplos * 4.1 Funciones generadoras ordinarias * 4.2 Función generadora exponencial * 4.3 Serie de Bell * 4.4Función generadora de la serie de Dirichlet * 5 Aplicaciones * 6 Otras funciones generadoras * 7 Véase también * 8 Referencias * 9 Notas * 10 Enlaces externos |
[editar] Función generadora ordinaria
La función generadora ordinaria de una sucesión (an) = a0, a1, a2, a3 ... se define como

Es común usar la expresión función generadora sin mayor calificativo, para referirse a este tipode función.
Ejemplo.
La sucesión de Fibonacci definida por la recurrencia

es la sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...
Su función generadora es

puesto que el desarrollo en serie de potencias de tal función es
.
y los coeficientes de tal desarrollo son precisamente 0,1,1,2,3,5,8,13,...
Es posible definir funciones generadoras sobre varias variables. Por ejemplo, la función generadora ordinariaen 2 variables de (am,n) donde n y m son índices que recorren los enteros no negativos, es

[editar] Aplicaciones
Si bien las funciones generadoras son una herramienta usada ampliamente en combinatoria, no existen métodos detallados que proporcionen solución a los problemas en cada situación. Sin embargo existen ideas generales que pueden ser modificadas y adaptadas en las diferentessituaciones que se presentan. A continuación se ilustran varios usos de las funciones generadoras junto con la idea general que se está usando.
[editar] Determinación de la función generadora a partir de una recurrencia
En esta situación lo que se hace es multiplicar ambos lados de la recurrencia por x^n y sumar sobre todos los índices. Después se efectúan transformaciones para que la igualdad entresumas que se obtiene se convierta en una ecuación que involucra la función generadora y se procede a resolverla.
Como ilustración, considere la recurrencia
.
que da origen a la sucesión (an)=1,5,17,53,161,485,1457...
Multiplicando ambos lados por xn y sumando sobre todos los valores de n se obtiene:
.
El lado izquierdo es casi la función generadora, pero los índices están desfasados. Pero...