Funcion implicita

MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) FUNCIONES IMPLÍCITAS Y DERIVACIÓN IMPLÍCITA (http://www.geocities.com/ajlasa)

1. Funciones de una variable independiente definidas implícitamenteComencemos con el caso de una función con una única variable independiente definida implícitamente. La variable y es función continua de x definida por la ecuación:

F ( x, y) = c c es una constante real ytiene derivadas continuas.
Diferenciando totalmente ambos lados de (1):

d F ( x, y) = 0 ∂F ∂F dx + dy = 0 ∂x ∂y
De manera que la regla para obtener la derivada

dy es: dx

∂F F dy = − ∂x = − x∂F dx Fy ∂y
Suponemos que F y ≠ 0 Ejemplos: 1. x − y + 3 xy = 2 o bien,

(1)

F ( x − y + 3 xy ) = 2

Tenemos que:

∂F = Fx = 1 + 3 y ∂x ∂F = Fy = 3 x − 1 ∂y

1

Luego:

dy 1+ 3 y 1+3 y =− = dx 3 x −1 1− 3 x

En este ejemplo, la función implícita x − y + 3 xy = 2 puede escribirse como una función explícita:

y=

2− x 3 x −1

Si derivamos respecto de x :

dy −1(3 x − 1)− 3(2 − x ) 1 − 3 x − 6 + 3 x −5 = = = 2 2 2 dx (3 x − 1) (3 x − 1) (3 x − 1)
El resultado de la derivación implícita fue:

dy 1+ 3 y =− dx 3 x −1
Sustituyendo en la anterior por la ecuación de ynos queda el mismo resultado. En efecto:

⎡ 2− x ⎤ 3 x −1 + 6 − 3 x ⎥ 1+ 3⎢ dy 5 ⎢⎣ 3 x − 1 ⎥⎦ 3 x −1 =− =− =− 2 dx 3 x −1 3 x −1 (3 x − 1)
Es claro que si todas las funciones implícitas pudieranescribirse como funciones explícitas, no sería muy útil la regla de la derivación de funciones implícitas. La utilidad de la derivación implícita consiste en que en algunos casos no podemos, o resultamuy complejo, escribir la función explícita, como vemos en el ejemplo siguiente. 2. x + y = 6 xy o bien, F x + y − 6 x y = 0
3 3

(

3

3

)

∂F = 3 x 2 − 6 y; ∂x

∂F = 3 y 2 − 6 x; ∂y

2Luego, la derivada implícita buscada es:

3 x2 − 2 y 2 y − x2 dy 3 x2 − 6 y =− 2 =− = 2 ; 2 dx 3 y −6x 3 y − 2x y −2x

( (

) ( ) (
(

) )

3. 2 x + 6 xy + y = 18 o bien, F 2 x + 6...