Funciones implicitas

CAPÍTULO 10

FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las funciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una función está escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despejada. Los siguientes ejemplosse refieren a funciones escritas en forma explícita:

y = 3 x 2 − 11x − 9
y = x 2 tan ( x 3 − 22 )

y = e6 x ( tan x − cos 2 x )
2

y=

ln x x6 − 9 x

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, se dice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones escritas en forma implícita:

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Funcionesimplícitas

x3 − y 3 = xy − 8 tan ( x − 4 y ) = 3 x + y 4
5 x 2 − 7 xy + 9 x − y 2 + 22 y − 6 = 0 y = arc sen x4 − y2

Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Porejemplo, en 4 y = sen 2 x − y 2

(

) la variable dependiente y aparece como parte del argumento

del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convino escribirla, como en x 2 + 3 y + 5 = 0 (se podría despejar la y )

Para obtener la derivada

dy de una función implícita se emplean las mismas fórmulas dx

y las mismas reglas de derivación estudiadashasta ahora, en donde debe tenerse solamente el cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas. Por ejemplo, para derivar y 3 debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la página 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

d 3 y = 3 y dx

3 −1

d y dxn-1

n

u

du dx

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Funciones implícitas

Por lo tanto
d 3 dy y = 3y2 dx dx

Para derivar, por ejemplo, x 6 y 3 debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en la página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

d 6 3 d 3 d 6 x y = x6 y + y3 x dx dx dx

u

dv + dx

v

du dx

Para derivar y 3 debe seguirse el procedimiento visto en la página anterior.Por lo tanto,

d ⎤ ⎡ y ⎥ + y 3 ⎡6 x5 ⎤ = x 6 ⎢3 y 2 ⎣ ⎦ dx ⎦ ⎣
d 6 3 dy x y = 3x6 y 2 + 6 x5 y 3 dx dx

En general, para obtener la derivada

dy de cualquier función implícita deben derivarse dx dy , lo dx

ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar

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Funciones implícitas

cual puede detallarse en la siguiente regla:

Para derivarfunciones implícitas: 1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas fórmulas antes vistas. 2) Despejar

dy , para lo cual: dx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan. b) Factorizar en el lado izquierdo c) Despejar multiplica.

dy . dx

dy , dividiendo en el ladoderecho el factor que le dx

Ejemplo 1: Obtener

dy dx

si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y

Solución:

Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

d d ( 5xy 7 − y 3 ) = dx ( 9 x + 4 y ) dx

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Funciones implícitas

d d 3 d d 5 xy 7 − y = 9x + 4y dx dx dx dx

d d d d ( 5xy 7 ) − dx y3 = dx 9 x + dx 4 y dx

son de la forma:

uv

un

c

du dx5x

d 7 d y + y7 5x − 3 y dx dx

3 −1

d dy y = 9+4 dx dx

n-1

u

dv dx

+

v

du dx

n u

du dx

dy ⎤ dy ⎡ 7 2 dy 5 x ⎢7 y 6 ⎥ + y [5] − 3 y dx = 9 + 4 dx dx ⎦ ⎣ 35 xy 6 dy dy dy + 5 y7 − 3 y2 =9+4 dx dx dx

Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho los que no lo contengan:

35 xy 6

dy dy dy − 3y2...