Funcion Logaritmica

Apunte | Diapositivas en PowerPoint | Tutoriales en videos |
Ley de composición interna. Estructuras algebraicas. Estructura de Grupo. Grupos Abelianos. Propiedades de los grupos. Subgrupos. Condición suficiente para la existencia de un subgrupo. Homomorfismo entre grupos. Homomorfismos especiales. Estructura de Anillos. Estructura de cuerpo. Trabajo práctico N° 7 |
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNASea el conjunto G , se llama Ley de Composición Interna a la función:

Esto significa que si operamos mediante * entre dos elementos de G, se obtiene otro elemento de G
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURA DE GRUPO

El par (G,*) es una estructura de grupo si y sólo si cumple con los siguientes axiomas:

A1) * es una ley de composición interna, o sea:

A2) * es asociativa, o sea:A3) Existe un elemento “e” neutro, o sea:

A4) Existencia del electo inverso para todo elemento de G, o sea:

Ahora, si además de estas propiedades cumple con la propiedad conmutativa el grupo se denomina conmutativo o abeliano, o sea:

A5) * es conmutativa, o sea:

Por ejemplo:

(Z,+) con Z es el conjunto de números enteros y + la operación adición ordinaria, y es un grupo abeliano.(Q, ·) siendo Q el conjunto de números racionales y · el producto ordinario, no es un grupo, ya que el 0 no posee inverso.

(Q-{0}, ·) es un grupo abeliano.

Ejemplo:

Sea (Q-{-1}, *) donde a*b =a+b+a.b, probar que es un grupo abeliano:

A1) * es una ley de composición interna en Q-{-1}
*:(Q-{-1})2  Q-{-1}/*(a,b)=a*b=a+b+a.bQ-{-1}

Esto lo justifica que la adición y la multiplicación denúmeros racionales es otro racional.

A2) * es asociativo en Q

Como los segundos miembros son iguales, entonces los primeros también lo son, luego:

A3) Existencia del elemento neutro (e)

Ahora, hacemos:

Por lo tanto el elemento neutro es e=0

A4) Existencia del elemento inverso para cualquier elemento de Q-{-1}, o sea:

Ahora probamos con:

Por lo tanto el elemento inverso esCon estas cuatro demostraciones aseguramos que (Q-{-1},*) es un grupo

Ahora hacemos:

A5) Probamos la conmutatividad

Esto es aplicando la propiedad conmutativa de la adición y del producto.

PROPIEDADES DE LOS GRUPOS

Propiedad 1: Propiedad cancelativa de los grupos

Sea (G,*) un grupo, entonces se verifica
a) a * c = b * c a = b
b) c * a = c * b a = b

DemostraciónTeniendo en cuenta la existencia del inverso en el grupo, aplicamos la composición al inverso de “c”, o sea c’ y además la propiedad asociativa, y se tiene:
*
*
Propiedad 2
El elemento neutro en una estructura de grupo es único, o sea:
Sean e y e’ neutros en (G,*) e = e’

Demostración
Como e’ es neutro e * e’ = e’
Como e es neutro e * e’ = e
Y por transitividad, se tiene que e =e’

Propiedad 3
El elemento inverso de un elemento de (G, *) es único
Sean a’ y a” inversos de a a’ = a”

Demostración:
Como a’ es inverso de a a * a’ = e
Como a” es inverso de a a * a”= e
Luego a * a’ = a * a” y aplicando la propiedad cancelativa queda a’ = a”

Propiedad 4
El inverso del inverso de un elemento de (G, *) es el mismo elemento
(a’)’=a

Demostración:
Sea aG a * a’ =e
Por otro lado (a’)’ * a’=e
O sea que a * a’ = (a’)’ * a’ y aplicando la propiedad cancelativa, queda a = (a’)’

Propiedad 5
El inverso de una composición es igual a la composición de los inversos.
(a * b)’ =a’ * b’

Demostración:
Se sabe que a’ * b’ * a * b =e
Y por otro lado que (a * b)’ * (a * b) = e
Luego se tiene: a’ * b’ * (a * b) = (a * b)’ * (a * b) y cancelado se llega a: a’ *b’ = (a * b)’

Propiedad 6
Sea (G, *) un grupo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
a) (G, *) es un grupo abeliano
b) (a * b)’ = a’ * b’ a, b G
O sea que:

(G, *) es grupo abeliano (a * b)’ = a’ * b’
Demostración:
Si se cumple la primera, o sea que si (G, *) es un grupo abeliano, por la propiedad anterior se cumple que:
(a * b)’ = a’ * b’ = b’ * a’
Ahora si:...