Funciones logarítmicas

´ Funcion Logar´ ıtmica
Profesor: Juan Gabriel Ben´ Rodr´ ıtez ıguez

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Introducci´n: Porqu´ es tan dif´ apreno e ıcil der matem´ticas (y porqu´ es tan dif´ a e ıcil aprender logaritmos).

En matem´ticas todo el tiempo se est´n creando objetos (funciones, a a n´meros, etc) que hay que conocer para manipularlos (ese conocimiento lo u escribimos en ecuaciones), y adem´s hace falta crear s´a ımbolos para nombrar esos objetos. Es como aprender un idioma en donde adem´s de las palabras a del idioma tambi´n hay que aprender nuevos conceptos y la sintaxis y la e ortograf´ del lenguaje. A´n m´s, es como aprender m´sica, teniendo que ıa u a u aprender que es un comp´s, un acorde, una escala, etc y adem´s como se a a escriben en el pentagrama. Por ejemplo, no decimos “el n´ mero quemultiplicado consigo misu √ √ a mo da 2”sino que a ese n´mero lo simbolizamos 2. Adem´s, 2 es una u forma c´moda de escribir 1,414213562373095... o As´ mismo, en lugar de escribir 3,141592653589793... simplemente llamaı mos a ese n´mero π. u En la clase pasada vimos que aparec´ de forma natural la expresi´n ıa o (1 + 1/x)x (recuerden el inter´s compuesto calculado momento a momento). e A medida que xaumenta el valor anterior se aproxima a 2,718281828459045... que va a ser un n´mero muy importante en las aplicaciones que llamamos e. u Pero el problema aparece cuando uno olvida lo que representan los s´ ımbolos. En ese caso todo se vuelve mec´nico porque las ecuaciones se convierten a en traducciones de dos idiomas que uno no conoce: ser´ como traducir del ıa chino al ruso, sabiendo traducir loss´ ımbolos, pero sin entender los conceptos que representan.

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Motivaci´n: Bases y exponentes. o

En la expresi´n ab = c se involucran tres cantidades. Dadas dos de ellas, o uno puede preguntarse cual debe ser la tercera. Por ejemplo: 23 = ?, ¿cu´nto da 2 multiplicado tres veces? Es lo mismo que hallar a el valor de x hace cierta la igualdad 23 = x. ?3 = 8, ¿que n´mero al cubo da8? Es lo mismo que encontrar el valor u de x que satisface la ecuaci´n x3 = 8. o 2? = 8, ¿cual debe ser el exponente de 2 para obtener como resultado 8? Es lo mismo que resolver la ecuaci´n 2x = 8. o Nota: En ninguno de los ejemplos anteriores hay una funci´n, porque el o valor de x est´ determinado de forma unica por los otros dos n´meros. Ser´a a ´ u ı funci´n si tuvi´ramos solo una constante enlugar de dos, pues obtendr´amos o e ı dos variables (una por cada constante faltante) y al variar una tambi´n lo e hace la otra. En las aplicaciones es importante resolver ecuaciones como en el tercero de los casos. Por ejemplo si un negocio crece en un porcentaje constante a partir del capital inicial (en un modelo de inter´s compuesto) ¿cu´nto tiempo e a tardar´ en crecer hasta cotizarse en unvalor dado? (recuerden que el tiempo a de pr´stamo es un exponente). En otras palabras (o mejor en otro lenguaje) e hay que resolver la ecuaci´n o Capital inicial · (1 + inter´s)x = Valor dado e hallando el valor de x. Simplificando con letras may´sculas para los valores u constantes, hay que resolver K · Cx = V es decir, hay que hallar el exponente para C que resuelve C x = V /K

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Unnombre extra˜ o para un exponente. n

Como acabamos de decir, resolver una ecuaci´n del tipo 2? = 8 va a ser o muy frecuente. En lugar de repetir cada vez la expresi´n “el exponente al o que debe elevarse 2 para obtener 8” se usa el s´ ımbolo log2 8. Recuerden √ o el ejemplo de 2 en la primera secci´n: el objetivo es el mismo aunque el √ a s´ ımbolo 2 parece m´s inofensivo que log2 8. Cuandoescribimos 2y = x y hacemos variar x, por cada valor de x habr´ uno correspondiente de y. Esto convierte a la expresion en una funci´n. a o Pero estamos mas familiarizados escribiendo f´rmulas de la forma y = f (x), o y as´ podemos hacerlo: y = log2 x (y es el exponente al que hay que elevar 2 ı para obtener x). Por ejemplo, x = 8 −→ 3 = log2 8 porque 23 = 8 x = 4 −→ 2 = log2 2 porque 22 = 4 x = 2...