Funcion primitiva

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Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a, b], se llama función
primitiva o antiderivada de f(x) a otra función F(x)cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es
decir,
F'(x) = f(x) para todo x de [a, b].
Así: La función sen x es una antiderivada primitiva decos x puesto que (sen x)' = cos x.
PROPIEDADES DE LAS ANTIDERIVADAS
DE UNA FUNCIÓN
PRIMERA PROPIEDAD: Si F(x) es una antiderivada de f(x) y Cuna constante cualquiera (un
número), la función F(x) + C es otra antiderivada de f(x).
Demostración:
Basta recordar que la derivada de unasuma de funciones es igual a la suma de las derivadas de
las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) +C' = f(x) + 0 = f(x)
SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una antiderivada, entonces tiene infinitas antiderivadas.
Demostración:
Si F(x) esuna antiderivada de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra antiderivada
según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas comovalores se le quieran dar a C.
TERCERA PROPIEDAD: Dos antiderivadas de una misma función se diferencian en una
constante. Esto es, si F(x) yG(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C =
cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en unintervalo cualquiera tiene derivada cero
en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) =
C.
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