Funciones Convexas



INTRODUCCIÓN


En el siguiente informe, se analizará la convexidad o concavidad de funciones. Lo anterior, se enmarca en la Unidad que se está revisando, que corresponde a FuncionesCuadráticas, donde se determina el carácter de estas funciones mediante procedimientos que puede proceder como: definida positiva, definida negativa, semi-definida negativa, semi-definida positiva e indefinida.De acuerdo a los parámetros anteriores, se podrá determinar la estricta convexidad o concavidad de una función, la convexidad o concavidad de una función o finalmente señalar que una función no es niconvexa ni cóncava. Anterior a ello, se determinará la Matriz A (siendo A simétrica), los DMPD y Matriz Hessiana si corresponde. Lo anterior dará las indicaciones precisas para determinar convexidado concavidad de una función. Finalmente, para dar cumplimiento al trabajo requerido, las funciones se graficarán en un sistema on-line llamado WolframAlpha que se adjunta en el anexo, que fue elsoftware libre y gratuito utilizado para visualizar los gráficos en tres dimensiones para apreciar la forma de la función.









Determinar si las funciones son o no cóncavas o convexas yluego graficar dichas funciones mediante algún software libre.
1)

Solución:
En este caso n=2, entonces , donde:
A= esta matriz no es simétrica, por lo que debemos calcular dicha matriz

A=→Ahora determinamos los DMPD de A:

Para k=1,
Para k=2,
Respuesta: como los signos de los DMPD de A son positivos, la matriz A es definida positiva y por ende la función cuadrática asociadaes ESTRICTAMENTE CONVEXA.


2)

Solución:
En este caso n=2, entonces , donde:
A=

Como la matriz es simétrica, ahora determinamos los DMPD de A:

Para k=1,
Para k=2,
Respuesta: comolos signos de los DMPD de A están en correspondencia con los signos de referencia dado por , para k=1,2; A es definida negativa y por ende la función cuadrática asociada es ESTRICTAMENTE CÓNCAVA....