Funciones Cuadráticas

 

 

Funciones cuadráticas   
LUIS MORA DOMÉNECH           
"La competencia matemática con la  calculadora gráfica” 

Introducción.

Se proponen tres actividades para un curso de Matemáticas A, de 4º de ESO. Se supone que los alumnos han utilizado ya algunas funciones. Con las actividades que se proponen se pretende que los alumnos se aproximen, aprovechando esos conocimientos, alconcepto de función y que lo asocien con su representación gráfica. En general, se pretenderá que sea el propio alumno el protagonista de su aprendizaje, siendo el profesor el que le guía, planteándole cuestiones motivadoras y actividades con un doble objetivo: que el alumno vaya descubriendo por si mismo las propiedades de las funciones polinómicas de segundo grado y que desarrolle elrazonamiento, la idea de abstracción, el proceso del análisis. Se estiman tres sesiones de clase para el desarrollo de las tres actividades (una por sesión).

1. Objetivos.

Los objetivos que se pretenden en esta unidad son: 1. Identificar y representar funciones polinómicas de segundo grado o cuadráticas. 2. Conocer el significado de los coeficientes de una función cuadrática. 3. Identificar loscoeficientes de una función cuadrática a partir de su expresión gráfica. 4. Aplicar los conocimientos adquiridos para modelizar problemas de la vida real y resolverlos.

2. Contenidos. Los contenidos que se desarrollan en estas actividades son: • • • • • • Función cuadrática. Eje de una parábola. Vértice de una parábola. Coeficientes de una función polinómica de segundo grado. Concavidad y convexidad.Máximos y mínimos relativos.

3. Competencias básicas. Estas actividades contribuyen al desarrollo de las siguientes competencias básicas: Competencia matemática • Entender una función como una modelización de la realidad. • Analizar el significado de los coeficientes de una función cuadrática. Competencia lingüística • Saber entresacar de un texto la información necesaria para modelizar lasituación que se propone mediante una función. • Expresar correctamente los resultados de problemas reales. Tratamiento de la información y competencia digital • Dominar y valorar el uso de la calculadora gráfica como ayuda para la resolución de problemas matemáticos. Conocimiento e interacción con el mundo físico • Valorar el uso de las funciones como elementos matemáticos que describen multitud defenómenos del mundo físico. Social y ciudadana • Utilizar las funciones para modelizar situaciones que ayuden a mejorar la vida humana. Aprender a aprender • Investigar las propiedades matemáticas de las funciones cuadráticas Autonomía e iniciativa personal • Saber modelizar mediante funciones una situación dada.

4. Secuencia de actividades.Actividad 1: Las funciones polinómicas de segundo grado. 

Una función polinómica de segundo grado es una función de la forma:

donde , ,

,

0.

La función polinómica de segundo grado más sencilla es la función ( 1, 0, 0 ). Vamos a representarla gráficamente. Para ello, construimos una tabla de valores con la calculadora gráfica:

Al representar gráficamente estos puntos obtenemos:

Uniendo los puntos obtenemos una parábola:

Notemosque la parábola es simétrica respecto de una recta vertical llamada eje. El punto de intersección de la curva con este eje se llama vértice de la parábola.

Calculemos de forma general el vértice de la parábola. Como la parábola es simétrica respecto de su eje, la abscisa del vértice será el punto medio de dos valores de x que tengan la misma imagen. Calculemos, pues, los puntos que tengan comoimagen c:

Resolvemos esta ecuación con la calculadora:

obteniendo 0, Calculamos el punto medio: 0 2 2

Así, podemos construir una tabla de valores dando a x, por ejemplo, tres valores menores y tres valores mayores y representar estos puntos en unos ejes. Por ejemplo, para representar la función 4 calculamos la abscisa del vértice 4 1

2 2 1 Construimos una tabla de valores con...